Какова длина радиуса описанной окружности треугольника АВС, если длина стороны АВ равна √2 и угол АСВ равен 45°?

Sherhan_4283

64

Чтобы найти длину радиуса описанной окружности треугольника АВС, мы можем использовать свойство описанной окружности. Дано, что сторона АВ равна \(\sqrt{2}\) и угол АСВ равен 45°.

Первым шагом давайте найдем длину стороны СВ. Для этого мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C,\]

где \(c\) - длина стороны СВ, \(a\) и \(b\) - длины сторон АВ и АС соответственно, \(C\) - угол между сторонами АВ и АС.

Подставляя известные значения, получим:

\[c^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45°.\]

Упростим и вычислим значение \(c\):

\[c^2 = 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.\]

\[c^2 = 4 - 2 \cdot \sqrt{2}.\]

\[c^2 = 4 - \sqrt{8}.\]

\[c^2 = 4 - 2\sqrt{2}.\]

\[c = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}.\]

Таким образом, мы нашли длину стороны СВ. Чтобы найти радиус описанной окружности, нам нужно разделить длину стороны СВ на 2. То есть:

\[r = \frac{c}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}.\]

Итак, длина радиуса описанной окружности треугольника АВС равна \(\frac{1}{2} \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}\).