Какова длина стороны АВ вписанного треугольника АВС, если известно, что центр окружности лежит на стороне АС

Kiska_8275

3

Для решения данной задачи введем несколько обозначений. Пусть точка O -- центр окружности, которая вписывается в треугольник АВС. Пусть точка P -- точка пересечения стороны АВ с окружностью. Тогда длина стороны АВ будет равна AP + PB.

Из угла ВАС равного 60° мы можем сделать следующие выводы. Так как BAP -- угол вписанный, и угол BAC -- угол центральный (лежит на той же дуге, что и угол BAP), то эти углы равны. Следовательно, угол ВАР также будет равен 60°.

Так как в треугольнике АРВ угол ВАР равен 60°, то треугольник АРВ является равносторонним. Поэтому, AV = VR = RA.

Теперь рассмотрим треугольник АOC. У него угол OAC -- угол центральный (лежит на той же дуге, что и угол ВАР), и он равен 60°. Угол OCA -- угол вписанный (лежит на той же дуге, что и угол ВАС), и он также равен 60°. Получается, что треугольник АOC -- равнобедренный с углом при вершине O, равным 60°. То есть, OC = AO.

Теперь мы можем сформулировать равенство:

AP + PB = AV + VR = AO + OC = AO + AO = 2 * AO.

То есть, длина стороны АВ равна удвоенной длине отрезка AO. Нам осталось только найти длину отрезка AO.

Так как угол ВАР равен 60°, то треугольник ВАР -- равнобедренный. Поэтому, угол ВРА равен (180° - 60°) / 2 = 60°. То есть, угол ВРА также равен 60°.

Теперь рассмотрим треугольник ВАР. Из угла ВРА, равного 60°, и равенства сторон VA = RA, мы можем сделать вывод, что треугольник ВАР -- равносторонний. Поэтому, VR = RA = AV.

Таким образом, отрезок AO является длиной стороны АС, который равен 10 см. Следовательно, длина стороны АВ будет равна:

AP + PB = 2 * AO = 2 * 10 см = 20 см.

Ответ: длина стороны АВ вписанного треугольника АВС равна 20 см.