Какова длина стороны BC в треугольнике ABC, если угол C равен 90 градусов, длина AC равна 3, и cosA равно √5/5?

Светлый_Ангел

23

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет вычислить длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и мера угла между ними.

Таким образом, формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где c - искомая длина стороны BC, a - длина стороны AC, b - длина стороны AB и C - мера угла противолежащего стороне c.

Подставим в формулу известные значения:

\[BC^2 = 3^2 + AB^2 - 2 \cdot 3 \cdot AB \cdot \cos(90^\circ)\]

Так как угол C равен 90 градусов, то \(\cos(90^\circ) = 0\). Подставим это значение:

\[BC^2 = 9 + AB^2 - 2 \cdot 3 \cdot AB \cdot 0\]

\[BC^2 = 9 + AB^2\]

Теперь воспользуемся дополнительной информацией из условия задачи, что \(cos(A) = \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\). С учетом этого факта, мы можем записать еще одно уравнение с использованием теоремы косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(A)\]

Подставим известные значения:

\[3^2 = AB^2 + 9 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\]

\[9 - AB^2 = 9 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\]

Отбросим общий множитель 9 и приведем уравнение к более удобному виду:

\[1 - \frac{{AB^2}}{{9}} = 1 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\]

\[\frac{{AB^2}}{{9}} = 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\]

Для дальнейшего расчета удобно заметить, что AB входит и в левую, и в правую части уравнения. Выразим AB через другие известные величины:

\[AB = 3 \cdot \sqrt{5}\]

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[\frac{{(3 \cdot \sqrt{5})^2}}{{9}} = 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\]

\[\frac{{9 \cdot 5}}{{9}} = 6 \cdot BC \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\]

\[5 = 6 \cdot BC \cdot \frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\]

Теперь можно избавиться от множителя \(\frac{{\sqrt{5}}}{{5}}\) через простую алгебру:

\[\frac{{\sqrt{5}}}{{5}} \cdot 5 = \frac{{6 \cdot BC \cdot \sqrt{5}}}{{5}}\]

\[\sqrt{5} = \frac{{6 \cdot BC \cdot \sqrt{5}}}{{5}}\]

Сократим множители \(\sqrt{5}\) и выразим BC:

\[1 = 6 \cdot BC \cdot \frac{1}{5}\]

\[BC = \frac{5}{6}\]

Таким образом, мы получили, что длина стороны BC в треугольнике ABC равна \(\frac{5}{6}\).