Какова длина струны, если после сокращения ее длины на 10 см, частота колебаний увеличивается в 1.5 раза?

Турандот

58

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу, связывающую длину струны и частоту колебаний. Формула звучит следующим образом:

\[ f = \frac{1}{2L} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

где f - частота колебаний струны, L - длина струны, T - натяжение струны, а \(\mu\) - линейная плотность струны.

Дано, что после сокращения длины струны на 10 см, частота колебаний увеличивается в 1.5 раза. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[ \frac{f_2}{f_1} = 1.5 \]

где \( f_1 \) - исходная частота колебаний, \( f_2 \) - новая частота колебаний.

Заметим, что частота колебаний обратно пропорциональна длине струны. То есть, если длина струны уменьшается в два раза, то частота колебаний увеличивается также в два раза. Поэтому, учитывая, что частота колебаний увеличивается в 1.5 раза после сокращения длины струны на 10 см, мы можем сделать вывод, что новая длина струны будет составлять 2/3 от исходной длины (так как 1.5 = 3/2).

Поэтому, для решения задачи мы можем записать следующее уравнение:

\[ \frac{L_1 - 10}{L_1} = \frac{2}{3} \]

где \( L_1 \) - исходная длина струны.

Далее, решаем уравнение относительно \( L_1 \):

\[ \frac{L_1 - 10}{L_1} = \frac{2}{3} \]

\[ 3(L_1 - 10) = 2L_1 \]

\[ 3L_1 - 30 = 2L_1 \]

\[ L_1 = 30 \]

Таким образом, исходная длина струны составляла 30 см.