Какова длина второго катета прямоугольного треугольника, если первый катет равен 4 см и синус противолежащего угла
Какова длина второго катета прямоугольного треугольника, если первый катет равен 4 см и синус противолежащего угла равен 0,5, а диагонали равны?
Chaynik 16
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник, поэтому у нас есть один прямой угол, равный 90 градусам. Из условия задачи известно, что первый катет равен 4 см, а синус противолежащего угла
Вспомним определение синуса угла:
Так как у нас прямоугольный треугольник, то длина гипотенузы равна сумме длин катетов, то есть
Подставляем в формулу:
Теперь давайте решим уравнение относительно второго катета. Подставим известные значения и полученные выражения:
Теперь перейдем к алгебраическим операциям:
Раскроем скобки:
Теперь выразим второй катет:
Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножим уравнение на 2:
Мы получили выражение для второго катета в зависимости от длины гипотенузы и первого катета.
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора:
Подставим известные значения:
Раскроем скобки и упростим:
Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножим уравнение на 4:
Упростим и приведем подобные слагаемые:
Представим это уравнение в виде квадратного трехчлена:
Теперь воспользуемся следующим фактом: так как мы знаем, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, то
Подставим известные значения:
Сократим и упростим выражение:
Разделим обе части уравнения на 4:
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
Сократим и получим длину гипотенузы:
Теперь мы можем найти значение BC, подставив известные значения в выражение для второго катета:
Так как мы знаем, что сумма длин катетов равна длине гипотенузы, то
Упростим уравнение:
Мы получили, что BC может быть любым числом, так как уравнение всегда верно при любых значениях BC.
Таким образом, длина второго катета прямоугольного треугольника может принимать любое значение.