Какова длина второго катета прямоугольного треугольника, если первый катет равен 4 см и синус противолежащего угла

  • 25
Какова длина второго катета прямоугольного треугольника, если первый катет равен 4 см и синус противолежащего угла равен 0,5, а диагонали равны?
Chaynik
16
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит: asinA=bsinB=csinC, где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие им углы.

В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник, поэтому у нас есть один прямой угол, равный 90 градусам. Из условия задачи известно, что первый катет равен 4 см, а синус противолежащего угла sinC равен 0,5.

Вспомним определение синуса угла: sinC=ACгипотенуза.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то длина гипотенузы равна сумме длин катетов, то есть AC=AB+BC.

Подставляем в формулу: sinC=ACAB+BC.

Теперь давайте решим уравнение относительно второго катета. Подставим известные значения и полученные выражения: 0,5=4AB+BC.

Теперь перейдем к алгебраическим операциям: 0,5(AB+BC)=4.

Раскроем скобки: 0,5AB+0,5BC=4.

Теперь выразим второй катет: 0,5AB=40,5BC.

Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножим уравнение на 2: AB=8BC.

Мы получили выражение для второго катета в зависимости от длины гипотенузы и первого катета.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: AB2+BC2=AC2. Так как треугольник прямоугольный, то AB2+BC2=AC2.

Подставим известные значения: (8BC)2+42=AC2.

Раскроем скобки и упростим: 6416BC+BC2+16=AC2.

Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножим уравнение на 4: 25664BC+4BC2+64=4AC2.

Упростим и приведем подобные слагаемые: BC216BC+256+64=4AC2.

Представим это уравнение в виде квадратного трехчлена: BC216BC+320=4AC2.

Теперь воспользуемся следующим фактом: так как мы знаем, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, то 4AC2=4(AB+BC)2.

Подставим известные значения: 4AC2=4(8)2.

Сократим и упростим выражение: 4AC2=256.

Разделим обе части уравнения на 4: AC2=64.

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: AC=64.

Сократим и получим длину гипотенузы: AC=8.

Теперь мы можем найти значение BC, подставив известные значения в выражение для второго катета: AB=8BC.

Так как мы знаем, что сумма длин катетов равна длине гипотенузы, то 8=8BC+BC.

Упростим уравнение: 8=8.

Мы получили, что BC может быть любым числом, так как уравнение всегда верно при любых значениях BC.

Таким образом, длина второго катета прямоугольного треугольника может принимать любое значение.