Какова длина второго катета прямоугольного треугольника, если первый катет равен 4 см и синус противолежащего угла

Chaynik

16

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\] где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие им углы.

В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник, поэтому у нас есть один прямой угол, равный 90 градусам. Из условия задачи известно, что первый катет равен 4 см, а синус противолежащего угла \( \sin C \) равен 0,5.

Вспомним определение синуса угла: \(\sin C = \frac{AC}{\text{гипотенуза}}.\)

Так как у нас прямоугольный треугольник, то длина гипотенузы равна сумме длин катетов, то есть \(AC = AB + BC.\)

Подставляем в формулу: \[\sin C = \frac{AC}{AB + BC}.\]

Теперь давайте решим уравнение относительно второго катета. Подставим известные значения и полученные выражения: \[0,5 = \frac{4}{AB + BC}.\]

Теперь перейдем к алгебраическим операциям: \[0,5 \cdot (AB + BC) = 4.\]

Раскроем скобки: \[0,5 \cdot AB + 0,5 \cdot BC = 4.\]

Теперь выразим второй катет: \[0,5 \cdot AB = 4 - 0,5 \cdot BC.\]

Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножим уравнение на 2: \[AB = 8 - BC.\]

Мы получили выражение для второго катета в зависимости от длины гипотенузы и первого катета.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: \(AB^2 + BC^2 = AC^2.\) Так как треугольник прямоугольный, то \(AB^2 + BC^2 = AC^2.\)

Подставим известные значения: \((8 - BC)^2 + 4^2 = AC^2.\)

Раскроем скобки и упростим: \(64 - 16 \cdot BC + BC^2 + 16 = AC^2.\)

Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножим уравнение на 4: \(256 - 64 \cdot BC + 4 \cdot BC^2 + 64 = 4 \cdot AC^2.\)

Упростим и приведем подобные слагаемые: \(BC^2 - 16 \cdot BC + 256 + 64 = 4 \cdot AC^2.\)

Представим это уравнение в виде квадратного трехчлена: \(BC^2 - 16 \cdot BC + 320 = 4 \cdot AC^2.\)

Теперь воспользуемся следующим фактом: так как мы знаем, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, то \(4 \cdot AC^2 = 4 \cdot (AB + BC)^2.\)

Подставим известные значения: \(4 \cdot AC^2 = 4 \cdot (8)^2.\)

Сократим и упростим выражение: \(4 \cdot AC^2 = 256.\)

Разделим обе части уравнения на 4: \(AC^2 = 64.\)

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(AC = \sqrt{64}.\)

Сократим и получим длину гипотенузы: \(AC = 8.\)

Теперь мы можем найти значение BC, подставив известные значения в выражение для второго катета: \(AB = 8 - BC.\)

Так как мы знаем, что сумма длин катетов равна длине гипотенузы, то \(8 = 8 - BC + BC.\)

Упростим уравнение: \(8 = 8.\)

Мы получили, что BC может быть любым числом, так как уравнение всегда верно при любых значениях BC.

Таким образом, длина второго катета прямоугольного треугольника может принимать любое значение.