Какова длина высоты треугольника, если она разбивает его основание на два отрезка длиной 2 и 10? Известно, что другая

Pugayuschiy_Shaman

33

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников и пропорциями.

Пусть треугольник ABC имеет сторону AB, которая является основанием, и высотой CH, которая разбивает основание на два отрезка длиной 2 и 10. При этом известно, что другая высота делящая CH в соотношении 1:4 отсчитывается от вершины. Обозначим эту высоту как AD, где D - точка пересечения AD и CH.

Чтобы решить задачу, нам нужно найти длину высоты CH. Для этого воспользуемся свойством подобных треугольников и пропорциями сторон.

Заметим, что треугольники ABD и CDH подобны, так как признаки их подобия выполняются:

1. Оба треугольника имеют угол в вершине D (угол ADH и угол CDH), так как они образованы высотами, проведенными из общей вершины.
2. Оба треугольника имеют угол при вершине B (угол ABD и угол CDH), так как это соответственные углы подобных треугольников.

Используя свойства подобных треугольников, можем записать следующую пропорцию:

\(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{CH}}{{CD}}\)

Заменим известные значения:

\(\frac{{2}}{{1}} = \frac{{CH}}{{CD}}\)

Теперь найдем длину отрезка CH, разделив оба члена пропорции на CD:

\(2 \cdot CD = CH\)

Теперь осталось найти длину отрезка CD. Мы знаем, что высота CH делит основание на отрезки длиной 2 и 10. Значит, сумма этих отрезков равна длине основания:

\(CD + DH = 2 + 10\)

Также нам известно, что другая высота делит высоту CH в соотношении 1:4. Получается, что отрезок DH в 4 раза больше отрезка CD:

\(DH = 4 \cdot CD\)

Подставим это значение в уравнение:

\(CD + 4 \cdot CD = 2 + 10\)

Упростим:

\(5 \cdot CD = 12\)

Таким образом, длина отрезка CD равна:

\(CD = \frac{{12}}{{5}}\)

Теперь можем найти длину отрезка CH:

\(CH = 2 \cdot CD = 2 \cdot \frac{{12}}{{5}} = \frac{{24}}{{5}}\)

Таким образом, длина высоты треугольника, разбивающей его основание на отрезки длиной 2 и 10, равна \(\frac{{24}}{{5}}\).