Какова должна быть минимальная угловая скорость вращения диска, чтобы тело оторвалось от него? На краю горизонтального

Ledyanoy_Ogon_1936

53

Для решения данной задачи нам необходимо учесть законы динамики. Основной закон, применимый в данном случае, - второй закон Ньютона, который гласит, что сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение.

В нашем случае, массивное тело находится под действием двух сил: веса \(m \cdot g\) и силы натяжения нити \(T\). По условию задачи, оно движется по окружности вместе с вращающимся диском. Чтобы тело оторвалось от диска, сила натяжения нити должна стать равной нулю.

Сила натяжения нити может быть выражена через угловую скорость вращения диска \( \omega \), массу тела \( m \), длину нити \( l \) и угол \( a \), как \( T = m \cdot g \cdot \cos(a) \).

Теперь мы можем составить уравнение, учитывающее равенство сил и массы тела:

\[ m \cdot g \cdot \cos(a) = m \cdot a_c \]

где \( a_c \) - угловое ускорение тела, которое будет равно \( a_c = \omega^2 \cdot l \).

Подставим данное значение ускорения и решим уравнение относительно угловой скорости \(\omega\):

\[ g \cdot \cos(a) = \omega^2 \cdot l \]

\[ \omega^2 = \frac{g \cdot \cos(a)}{l} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{g \cdot \cos(a)}{l}} \]

Теперь осталось только подставить значения в данное выражение и произвести необходимые вычисления:

\[ \omega = \sqrt{\frac{10 \cdot \cos(60^\circ)}{0.5}} \]

\[ \omega \approx \sqrt{\frac{10 \cdot 0.5}{0.5}} \]

\[ \omega \approx \sqrt{10} \]

\[ \omega \approx 3.162 \]

Таким образом, минимальная угловая скорость вращения диска, чтобы тело оторвалось от него, округленная до трех значащих цифр, составляет 3.162 рад/с.