Какова формула Ньютона-Лейбница для вычисления площади данной фигуры?

Snegurochka_8628

27

Для вычисления площади произвольной фигуры можно использовать формулу Ньютона-Лейбница, которая основана на концепции определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница утверждает, что площадь фигуры может быть найдена путем интегрирования функции, которая определяет границы фигуры.

Предположим, что у нас есть фигура, ограниченная двумя функциями \(f(x)\) и \(g(x)\) на интервале \([a, b]\). Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) являются непрерывными на этом интервале и \(f(x) \geq g(x)\) для всех \(x\) в этом интервале, то площадь фигуры может быть найдена следующим образом:

\[S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\]

Где \(\int\) обозначает математический символ интеграла и \(dx\) обозначает малый элемент длины на оси \(x\). Здесь \((f(x) - g(x))\) представляет разницу между границами фигуры вдоль оси \(x\), а интегрирование этой разницы дает нам площадь фигуры.

Давайте рассмотрим пример для наглядности. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с основанием \(b\) и высотой \(h\). В этом случае функции \(f(x)\) и \(g(x)\) равны \(f(x) = h\) и \(g(x) = \frac{h}{b} x\), соответственно. Мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница для расчета площади этого треугольника:

\[S = \int_{0}^{b} (h - \frac{h}{b} x) \, dx\]

Проинтегрировав это выражение, получим:

\[S = [hx - \frac{h}{2b} x^2]_{0}^{b}\]

Подставим верхний предел интегрирования \(b\) и нижний предел интегрирования \(0\), и вычислим разность:

\[S = h \cdot b - \frac{h}{2b} b^2 - (0 - 0) = \frac{1}{2} h \cdot b\]

Таким образом, получаем площадь прямоугольного треугольника, равную половине произведения его основания и высоты.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам лучше понять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления площади фигуры.