Какова координата точки минимума функции y=(x-7)^2(x+6)?

Капля

60

Понятно, ваша задача состоит в том, чтобы найти координаты точки минимума функции \(y=(x-7)^2(x+6)\). Для этого мы будем использовать метод нахождения экстремумов функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y=(x-7)^2(x+6)\). Для этого применим правило производной перемножения функций и цепного правила:

\[
\begin{align*}
y" &= \frac{d}{dx}[(x-7)^2(x+6)] \\
&= \frac{d}{dx}[(x^2-14x+49)(x+6)] \\
&= (2x-14)(x+6) + (x^2-14x+49)(1) \\
&= 2x^2 - 2x - 84
\end{align*}
\]

Шаг 2: Используем полученную производную, чтобы найти критические точки функции. Критическая точка - это такая точка, где производная равна нулю или не существует.

\[
2x^2 - 2x - 84 = 0
\]

Для решения этого квадратного уравнения, можно использовать квадратное уравнение, формула которого выглядит так:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Где \(a = 2\), \(b = -2\), и \(c = -84\). Подставим эти значения в формулу:

\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-84)}}{2(2)}
\]

Упростим:

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 672}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{676}}{4} = \frac{2 \pm 26}{4}
\]

Значит, имеем два возможных значения \(x\):

\[
x_1 = \frac{2 + 26}{4} = \frac{28}{4} = 7
\]
\[
x_2 = \frac{2 - 26}{4} = \frac{-24}{4} = -6
\]

Шаг 3: Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для \(x_1\) и \(x_2\):

Для \(x_1 = 7\):
\[
y = (7-7)^2(7+6) = 0 \cdot 13 = 0
\]

Для \(x_2 = -6\):
\[
y = (-6-7)^2(-6+6) = (-13)^2(0) = 0
\]

Шаг 4: В итоге получаем, что координаты точек минимума функции \(y=(x-7)^2(x+6)\) равны (7, 0) и (-6, 0). Это потому что функция имеет два одинаковых места, где значение \(y\) минимальное и равное 0.