Найдите решение следующего уравнения: √3sinx-cosx=2cos7x

  • 1
Найдите решение следующего уравнения: √3sinx-cosx=2cos7x
Chudesnyy_Korol
63
Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

1. С начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду. Заменим √3 на 2sin(π3) и выразим cos7x в терминах cosx:

2sin(π3)sin(x)cos(x)=2cos(7x)

2. Воспользуемся формулой суммы для cos(a+b), чтобы заменить cos(7x):

2sin(π3)sin(x)cos(x)=2cos(x)cos(6x)2sin(x)sin(6x)

3. Теперь сгруппируем слагаемые с cos(x) и слагаемые с sin(x) отдельно:

cos(x)=2cos(x)cos(6x)(2sin(π3)sin(x)2sin(x)sin(6x))

4. Продолжим упрощение, сократим слагаемые и выполним раскрытие скобок:

cos(x)=2cos(x)cos(6x)(3sin(x)2sin(x)sin(6x))

5. Теперь, вынесем cos(x) общим множителем:

cos(x)=cos(x)(2cos(6x)1)3sin(x)+2sin(x)sin(6x)

6. Заменим cos(6x) на cos2(3x)sin2(3x), используя формулу двойного угла:

cos(x)=cos(x)(2(cos2(3x)sin2(3x))1)3sin(x)+2sin(x)sin(6x)

7. Упростим выражение и приведем подобные слагаемые:

cos(x)=2cos(x)(cos2(3x)sin2(3x))cos(x)3sin(x)+2sin(x)sin(6x)

8. Раскроем скобки внутри первого слагаемого:

cos(x)=2cos(x)cos2(3x)2cos(x)sin2(3x)cos(x)3sin(x)+2sin(x)sin(6x)

9. Воспользуемся формулами половинного угла для cos(2α) и sin(2α), чтобы выразить cos2(3x) и sin2(3x):

cos(x)=2cos(x)(1+cos(6x)2)2cos(x)(1cos(6x)2)cos(x)3sin(x)+2sin(x)sin(6x)

10. Упростим выражение и сократим слагаемые:

cos(x)=cos(x)+cos(x)cos(6x)cos(x)+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)

11. Получилось:

cos(x)cos(6x)+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)=0

12. Теперь, заменим cos(6x) на cos2(3x)sin2(3x):

cos(x)(cos2(3x)sin2(3x))+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)=0

13. Раскроем скобки и упростим выражение:

cos3(3x)cos(x)cos(x)sin2(3x)+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)=0

14. Для удобства, выразим sin2(3x) через cos2(3x), используя тождество sin2α+cos2α=1:

cos3(3x)cos(x)cos(x)(1cos2(3x))+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)=0

15. Сократим слагаемые и упростим выражение:

cos3(3x)cos(x)cos(x)+cos(x)cos2(3x)+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)=0

16. Упростим выражение дальше:

cos3(3x)cos(x)+cos(x)cos2(3x)+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)cos(x)=0

17. Заметим, что cos3(3x)cos(x)+cos(x)cos2(3x)cos(x) можно сгруппировать:

cos(x)(cos3(3x)+cos2(3x)1)+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)=0

18. Заменим cos(3x) на 4cos3(x)3cos(x), используя формулу тройного угла для косинуса:

cos(x)((4cos3(x)3cos(x))3+(4cos3(x)3cos(x))21)+3sin(x)+2sin(x)sin(6x)=0

19. Воспользуемся формулой суммы для sin(a+b), чтобы заменить sin(6x):

cos(x)((4cos3(x)3cos(x))3+(4cos3(x)3cos(x))21)+3sin(x)+2sin(x)(2sin(3x)cos(3x))=0

20. Упростим выражение:

cos(x)((4cos3(x)3cos(x))3+(4cos3(x)3cos(x))21)+3sin(x)+4sin(x)sin(3x)cos(3x)=0

21. Дальнейшие упрощения могут быть сложными и занимать много места, поэтому давайте остановимся на этом шаге и обсудим следующие шаги. Мы можем попытаться решить уравнение численными методами, например, методом половинного деления, чтобы приблизительно найти решение. Также можно попытаться привести уравнение к более простой форме, провести дополнительные упрощения или использовать дополнительные идентичности и формулы.

Если у вас есть какие-либо предложения или ограничения, пожалуйста, дайте мне знать, и я буду рад помочь вам дальше.