Какова масса участка стержня между х1=1 и х2=2, если его линейная плотность определяется уравнением p(х)=4x^2+5x+2?

Boris

17

Чтобы найти массу участка стержня между двумя точками, мы должны использовать формулу для расчета массы:

\[ M = \int_{x_1}^{x_2} m(x) \, dx \]

где \(M\) - масса участка стержня, \(m(x)\) - линейная плотность стержня в зависимости от координаты \(x\), а \(x_1\) и \(x_2\) - координаты точек, определяющих участок.

В данном случае, линейная плотность стержня определяется уравнением \(p(x) = 4x^2 + 5x + 2\).

Таким образом, чтобы найти массу участка между \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Вычислить интеграл \(\int_{x_1}^{x_2} p(x) \, dx\):
\[ M = \int_{1}^{2} (4x^2 + 5x + 2) \, dx \]

2. Разложить выражение \(4x^2 + 5x + 2\) на многочлены:
\[ M = \int_{1}^{2} (4x^2 + 5x + 2) \, dx = \int_{1}^{2} 4x^2 \, dx + \int_{1}^{2} 5x \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx \]

3. Выполнить интегрирование каждого многочлена:
\[ M = \left[ \frac{4}{3} x^3 \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{5}{2} x^2 \right]_{1}^{2} + \left[ 2x \right]_{1}^{2} \]

4. Подставить значения в верхние и нижние пределы интегрирования:
\[ M = \left[ \frac{4}{3} \cdot 2^3 - \frac{4}{3} \cdot 1^3 \right] + \left[ \frac{5}{2} \cdot 2^2 - \frac{5}{2} \cdot 1^2 \right] + \left[ 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 \right] \]

5. Вычислить значения в скобках:
\[ M = \left[ \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1 \right] + \left[ \frac{5}{2} \cdot 4 - \frac{5}{2} \cdot 1 \right] + \left[ 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 \right] \]

6. Упростить и вычислить значения:
\[ M = \left[ \frac{32}{3} - \frac{4}{3} \right] + \left[ \frac{20}{2} - \frac{5}{2} \right] + \left[ 4 - 2 \right] \]

7. Привести дроби к общему знаменателю и сложить числители:
\[ M = \frac{32 - 4}{3} + \frac{20 - 5}{2} + 2 \]

8. Выполнить вычисления:
\[ M = \frac{28}{3} + \frac{15}{2} + 2 \]

9. Привести дроби к общему знаменателю:
\[ M = \frac{56}{6} + \frac{45}{6} + \frac{12}{6} \]

10. Сложить числители:
\[ M = \frac{56 + 45 + 12}{6} \]

11. Выполнить вычисления:
\[ M = \frac{113}{6} \]

Таким образом, масса участка стержня между \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\) равна \(\frac{113}{6}\).