Найдите сторону треугольника ABC, исходя из информации, представленной на рисунке, где вписанная окружность касается

Светлячок_В_Лесу

63

Хорошо, давайте решим эту задачу.

На рисунке есть треугольник ABC, и в нем вписанная окружность с центром O. Окружность касается стороны AB в точке M и стороны AC в точке K. Нам нужно найти длину стороны BC.

Давайте рассмотрим взаимосвязь между радиусом вписанной окружности и данными точками касания.

Во-первых, мы знаем, что касательная, проведенная из точки касания к окружности, всегда перпендикулярна радиусу в этой точке. Так что AM и AK - это радиусы окружности.

Кроме того, поскольку окружность вписана в треугольник, отрезки AM, BK и CK являются биссектрисами соответствующих углов треугольника.

Теперь мы можем использовать свойство биссектрисы для нахождения связей между отрезками сторон треугольника и радиусом окружности.

Пусть BM и CM - это отрезки, на которые отрезок BC делится точками касания M и K. Тогда, согласно свойству биссектрисы, отношение длины отрезка BM к длине отрезка MC равно отношению длины стороны AB к длине стороны AC. Мы можем обозначить это отношение как \( \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}\).

Теперь давайте введем переменную x, которая будет обозначать длину отрезка BC. Тогда длина отрезка BM равна x - это просто другое название для стороны BC. Аналогично, длина отрезка CM также равна x.

Используя это, мы можем переписать наше уравнение как \( \frac{x}{x} = \frac{AB}{AC}\).

Так как \( \frac{x}{x}\) равно 1, уравнение упрощается до \(1 = \frac{AB}{AC}\).

Теперь давайте рассмотрим отношение сторон треугольника AB и AC. Мы знаем, что сторона AB равна сумме длин отрезков AM и BM, а сторона AC равна сумме длин отрезков AK и CK. То есть, \(AB = AM + BM\) и \(AC = AK + CK\).

Используя это, мы можем заменить стороны AB и AC в нашем уравнении и получить \(1 = \frac{AM + BM}{AK + CK}\).

Но мы также знаем, что AM равно радиусу окружности, а радиус окружности - это одновременно исходящая, исходящая и медиана равнобедренного треугольника. Так что \(AM = BM = CM\).

Заменим это в нашем уравнении и получим \(1 = \frac{AM + AM}{AK + CK}\).

Упрощая это уравнение, мы получаем \(1 = \frac{2 \cdot AM}{AK + CK}\).

Теперь нам нужно только выразить сторону BC, что и будет являться решением задачи.

Давайте рассмотрим отношение сторон треугольника ABC. Он представляет собой отношение сторон AB и AC. Если мы умножим обе части уравнения на длину стороны AC, мы получим \(AC = 2 \cdot AM\).

Теперь мы можем заменить \(2 \cdot AM\) в нашем уравнении и получить \(1 = \frac{AC}{AK + CK}\).

Остается только выразить сторону BC, давайте это сделаем:

\[BC = BM + CM = AM + AM = 2 \cdot AM\]

Используя наше выражение для AC, мы можем записать:

\[BC = 2 \cdot AM = AC\]

Таким образом, длина стороны BC равна длине стороны AC. Это ответ на задачу.