На каком отскоке высота подлета попрыгунчика станет меньше, если после каждого отскока высота уменьшается в два раза?

Karamelka

5

Конечно! Для решения этой задачи, давайте представим, что исходная высота прыжка попрыгунчика равна \( H \).

После первого отскока, высота уменьшится вдвое, поэтому станет равной \( \frac{H}{2} \).

После второго отскока, высота снова уменьшится вдвое, и станет равной \( \frac{H}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{H}{4} \).

Видим, что после каждого отскока, высота подлета попрыгунчика будет уменьшаться вдвое. Если продолжим этот процесс, чередуя отскоки и деление высоты на 2, мы получим следующую последовательность высот:

1-й отскок: \( H \)
2-й отскок: \( \frac{H}{2} \)
3-й отскок: \( \frac{H}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{H}{4} \)
4-й отскок: \( \frac{H}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{H}{8} \)

Можно заметить, что с каждым следующим отскоком, высота будет уменьшаться вдвое по сравнению с предыдущей высотой. Таким образом, для того чтобы высота подлета стала меньше, необходимо продолжить этот процесс до тех пор, пока высота не станет настолько маленькой, чтобы быть меньше изначальной высоты.

Таким образом, попрыгунчик достигнет высоты меньше изначальной, когда \( \frac{H}{2^n} < H \), где \( n \) - количество отскоков. Решая это неравенство, получим:

\[ \frac{H}{2^n} < H \]
\[ 2^n > 1 \]
\[ n > 0 \]

Таким образом, достаточно совершить хотя бы один отскок, чтобы высота подлета стала меньше изначальной высоты.

В заключение, чтобы высота подлета попрыгунчика стала меньше, необходимо совершить хотя бы один отскок.