Какова обыкновенная дробь, если числитель на 3 меньше знаменателя, а при добавлении 20 к числителю и 16 к знаменателю

Larisa

51

Давайте решим эту задачу пошагово для лучшего понимания. Предположим, что обыкновенная дробь выглядит следующим образом: \(\frac{n}{n+3}\), где \(n\) - числитель и \(n+3\) - знаменатель.

Условие говорит нам, что числитель на 3 меньше знаменателя. Это можно записать в виде уравнения: \(n = n+3 - 3\).

Теперь, когда мы знаем это условие, можем перейти к следующей части задачи. Рассмотрим новую обыкновенную дробь, где мы добавляем 20 к числителю и 16 к знаменателю. Она уменьшается на 0,4, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{n+20}{n+3+16} = \frac{n}{n+3} - 0,4\).

Давайте разберем это уравнение по частям.

1. Начнем с левой части уравнения: \(\frac{n+20}{n+19}\). Мы знаем, что это равно \(n\), поэтому можем записать уравнение в виде:

\(n = \frac{n+20}{n+19}\).

2. Теперь рассмотрим правую часть уравнения: \(\frac{n}{n+3} - 0,4\).

Сначала приведем дробь к общему знаменателю, чтобы сложить две дроби:

\(\frac{n}{n+3} - 0,4 = \frac{n}{n+3} - \frac{0,4(n+3)}{n+3} = \frac{n - 0,4n - 1,2}{n+3}\).

3. Теперь уравняем обе части уравнения:

\(\frac{n+20}{n+19} = \frac{n - 0,4n - 1,2}{n+3}\).

4. Умножим обе части уравнения на \((n+19)(n+3)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\((n+20)(n+3) = (n - 0,4n - 1,2)(n+19)\).

5. Распространим скобки и упростим выражение:

\(n^2 + 23n + 60 = n^2 + 19n - 0,4n^2 - 23,8n - 22,8\).

\(n^2 + 23n + 60 = 0,6n^2 - 1,8n - 22,8\).

6. Сгруппируем подобные слагаемые:

\(0,4n^2 - 24,8n - 82,8 = 0\).

7. Решим это квадратное уравнение:

Используя формулу дискриминанта, найдем значения \(n\):

\(D = (-24,8)^2 - 4 \cdot 0,4 \cdot (-82,8)\),
\(D = 614,4\).

Используя формулу корней квадратного уравнения, вычисляем значения \(n\):

\(n_1 = \frac{-(-24,8) + \sqrt{614,4}}{2 \cdot 0,4}\),
\(n_1 = \frac{24,8 + 24,8}{0,8}\),
\(n_1 = \frac{49,6}{0,8}\),
\(n_1 = 62\).

\(n_2 = \frac{-(-24,8) - \sqrt{614,4}}{2 \cdot 0,4}\),
\(n_2 = \frac{24,8 - 24,8}{0,8}\),
\(n_2 = \frac{0}{0,8}\),
\(n_2 = 0\).

Так как исходная задача требует числитель, который меньше знаменателя на 3, мы выбираем решение \(n = 0\).

Итак, обыкновенная дробь равна \(\frac{0}{3} = 0\).