Какова площадь боковой и полной поверхностей усеченной четырёхугольной пирамиды, у которой стороны оснований измеряют

Черныш_7568

18

Для начала рассчитаем высоту усеченной четырёхугольной пирамиды. У этой пирамиды есть две основания, одно измеряет 9 дм, а другое 20 дм. Апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра одного из оснований) не указана в задаче, поэтому предположим, что она также измеряет 9 дм.

Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. По этой теореме сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, катеты равны 9 дм и 9 дм, а гипотенузу можно выразить через высоту пирамиды и апофему.

Получается следующее уравнение: $(9{)}^2+(9{)}^2=h^2+(9{)}^2$, где $h$ - высота пирамиды.

Решим это уравнение: $(9{)}^2+(9{)}^2=h^2+(9{)}^2$, $(9{)}^2+(9{)}^2-(9{)}^2=h^2$, $81+81-81=h^2$, $162=h^2$.

Теперь извлечем квадратный корень из обоих частей уравнения: $\sqrt{162}=\sqrt{h^2}$, $12.73\approx h$.

Таким образом, высота усеченной четырёхугольной пирамиды равна примерно 12.73 дм.

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_b=\frac{1}{2}(l_1+l_2)\times p$, где $l_1$ и $l_2$ - длины боковых рёбер основания, $p$ - периметр основания.

Периметр основания можно найти, сложив длины всех его сторон: $p=l_1+l_2+l_3+l_4$.

В данной задаче мы не знаем длину бокового ребра ($l_3$ и $l_4$), поэтому для простоты предположим, что эти рёбра также равны 9 дм. Тогда периметр будет равен: $p=9+20+9+9=47$ дм.

Таким образом, мы можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_b=\frac{1}{2}(9+20)\times 47=14.5\times 47=681.5$ дм².

Для расчета полной поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности с площадью обоих оснований. Основание пирамиды - четырехугольник, поэтому для него нет простой формулы площади, и в этом случае необходимо использовать более сложный метод вычисления.

Разобьем четырехугольник на два треугольника и прямоугольник и посчитаем площади каждой фигуры отдельно.

Площадь прямоугольника будет равна $S_{\text{прям}}=a\times b$, где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника. В нашем случае это $20\times 9=180$ дм².

Площадь каждого треугольника рассчитывается по формуле $S_{\text{тр}}=\frac{1}{2}\times a\times h$, где $a$ - основание треугольника, а $h$ - его высота.

Основание первого треугольника равно 9 дм, а высота - высоте пирамиды $h$ = 12.73 дм. Таким образом, $S_{\text{тр1}}=\frac{1}{2}\times 9\times 12.73=57.285$ дм².

Основание второго треугольника также равно 9 дм, а его высота - апофеме $9$ дм. Поэтому $S_{\text{тр2}}=\frac{1}{2}\times 9\times 9=40.5$ дм².

Теперь, чтобы найти полную поверхность пирамиды, нужно сложить все рассчитанные площади: $S_{\text{пол}}=S_{\text{бок}}+2\times S_{\text{тр1}}+2\times S_{\text{тр2}}+S_{\text{прям}}$.

Подставим значения и рассчитаем полную поверхность: $S_{\text{пол}}=681.5+2\times 57.285+2\times 40.5+180=997.07$ дм².

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной четырёхугольной пирамиды составляет 681.5 дм², а полная поверхность - 997.07 дм².