Какова площадь боковой и полной поверхностей усеченной четырёхугольной пирамиды, у которой стороны оснований измеряют

Черныш_7568

18

Для начала рассчитаем высоту усеченной четырёхугольной пирамиды. У этой пирамиды есть две основания, одно измеряет 9 дм, а другое 20 дм. Апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра одного из оснований) не указана в задаче, поэтому предположим, что она также измеряет 9 дм.

Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. По этой теореме сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, катеты равны 9 дм и 9 дм, а гипотенузу можно выразить через высоту пирамиды и апофему.

Получается следующее уравнение: \((9)^2 + (9)^2 = h^2 + (9)^2\), где \(h\) - высота пирамиды.

Решим это уравнение: \((9)^2 + (9)^2 = h^2 + (9)^2\), \((9)^2 + (9)^2 - (9)^2 = h^2\), \(81 + 81 - 81 = h^2\), \(162 = h^2\).

Теперь извлечем квадратный корень из обоих частей уравнения: \(\sqrt{162} = \sqrt{h^2}\), \(12.73 \approx h\).

Таким образом, высота усеченной четырёхугольной пирамиды равна примерно 12.73 дм.

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды вычисляется по формуле: \(S_b = \frac{1}{2}(l_1 + l_2) \times p\), где \(l_1\) и \(l_2\) - длины боковых рёбер основания, \(p\) - периметр основания.

Периметр основания можно найти, сложив длины всех его сторон: \(p = l_1 + l_2 + l_3 + l_4\).

В данной задаче мы не знаем длину бокового ребра (\(l_3\) и \(l_4\)), поэтому для простоты предположим, что эти рёбра также равны 9 дм. Тогда периметр будет равен: \(p = 9 + 20 + 9 + 9 = 47\) дм.

Таким образом, мы можем вычислить площадь боковой поверхности: \(S_b = \frac{1}{2}(9 + 20) \times 47 = 14.5 \times 47 = 681.5\) дм².

Для расчета полной поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности с площадью обоих оснований. Основание пирамиды - четырехугольник, поэтому для него нет простой формулы площади, и в этом случае необходимо использовать более сложный метод вычисления.

Разобьем четырехугольник на два треугольника и прямоугольник и посчитаем площади каждой фигуры отдельно.

Площадь прямоугольника будет равна \(S_{\text{прям}} = a \times b\), где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника. В нашем случае это \(20 \times 9 = 180\) дм².

Площадь каждого треугольника рассчитывается по формуле \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times a \times h\), где \(a\) - основание треугольника, а \(h\) - его высота.

Основание первого треугольника равно 9 дм, а высота - высоте пирамиды \(h\) = 12.73 дм. Таким образом, \(S_{\text{тр1}} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12.73 = 57.285\) дм².

Основание второго треугольника также равно 9 дм, а его высота - апофеме \(9\) дм. Поэтому \(S_{\text{тр2}} = \frac{1}{2} \times 9 \times 9 = 40.5\) дм².

Теперь, чтобы найти полную поверхность пирамиды, нужно сложить все рассчитанные площади: \(S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{тр1}} + 2 \times S_{\text{тр2}} + S_{\text{прям}}\).

Подставим значения и рассчитаем полную поверхность: \(S_{\text{пол}} = 681.5 + 2 \times 57.285 + 2 \times 40.5 + 180 = 997.07\) дм².

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной четырёхугольной пирамиды составляет 681.5 дм², а полная поверхность - 997.07 дм².