Какова площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=0,5x^2-2x+3 и y=7-x?

Лазерный_Рейнджер

45

Давайте найдем точки пересечения графиков данных функций, чтобы определить границы фигуры. Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения функций и решим получившееся квадратное уравнение:

\[0,5x^2 - 2x + 3 = 7 - x\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[0,5x^2 - 2x + x + 3 - 7 = 0\]

Упростим выражение:

\[0,5x^2 - x - 4 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем или другими методами, но здесь мы воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где в нашем случае \(a = 0,5\), \(b = -1\) и \(c = -4\):

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(0,5)(-4)}}{2(0,5)}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{1}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{1}\]

\[x = \frac{1 \pm 3}{1}\]

Это дает нам два возможных значения для \(x\): \(x = 4\) и \(x = -2\).

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\), подставим эти значения \(x\) в уравнения функций. Для \(x = 4\):

\[y = 7 - x = 7 - 4 = 3\]

И для \(x = -2\):

\[y = 7 - x = 7 - (-2) = 9\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения графиков функций: (4, 3) и (-2, 9).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между графиками, нам нужно найти площадь между их криволинейными границами. Разобьем эту фигуру на две части путем поиска площадей под кривыми.

1) Первая часть фигуры находится ниже функции \(y = 0,5x^2 - 2x + 3\) и ограничена графиками этой функции и \(y = 0\). Для нахождения площади этой части, мы можем использовать интеграл:

\[S_1 = \int_{a}^{b} (0,5x^2 - 2x + 3) dx\]

Где \(a\) и \(b\) - это координаты точек пересечения. Интегрируя, получим:

\[S_1 = \int_{-2}^{4} (0,5x^2 - 2x + 3) dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S_1 = \Big[\frac{0,5}{3} x^3 - x^2 + 3x\Big]_{-2}^{4}\]

\[S_1 = \Big(\frac{0,5}{3}\cdot4^3 - 4^2 + 3\cdot4\Big) - \Big(\frac{0,5}{3}\cdot(-2)^3 - (-2)^2 + 3\cdot(-2)\Big)\]

\[S_1 = \Big(\frac{0,5}{3}\cdot64 - 16 + 12\Big) - \Big(\frac{0,5}{3}\cdot(-8) - 4 - 6\Big)\]

\[S_1 = \Big(\frac{32}{3} - 16 + 12\Big) - \Big(\frac{-4}{3} - 4 - 6\Big)\]

\[S_1 = \Big(\frac{32 - 48 + 36}{3}\Big) - \Big(\frac{-4 - 12 - 18}{3}\Big)\]

\[S_1 = \Big(\frac{20}{3}\Big) - \Big(\frac{-34}{3}\Big)\]

\[S_1 = \frac{54}{3} = 18\]

Таким образом, площадь первой части фигуры равна 18 квадратным единицам.

2) Вторая часть фигуры находится ниже функции \(y = 7 - x\) и ограничена графиками этой функции и \(y = 0\). Аналогично, мы можем использовать интеграл для нахождения площади этой части:

\[S_2 = \int_{c}^{d} (7 - x) dx\]

Где \(c\) и \(d\) - это соответствующие координаты точек пересечения. Вычислить интеграл:

\[S_2 = \int_{-2}^{4} (7 - x) dx\]

\[S_2 = \Big[7x - \frac{x^2}{2}\Big]_{-2}^{4}\]

\[S_2 = \Big(7\cdot4 - \frac{4^2}{2}\Big) - \Big(7\cdot(-2) - \frac{(-2)^2}{2}\Big)\]

\[S_2 = \Big(28 - 8\Big) - \Big(-14 - 2\Big)\]

\[S_2 = 20 + 16 = 36\]

Таким образом, площадь второй части фигуры равна 36 квадратным единицам.

Теперь найдем общую площадь фигуры, складывая площади обеих частей:

\[S_{\text{фигуры}} = S_1 + S_2 = 18 + 36 = 54\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = 0,5x^2 - 2x + 3\) и \(y = 7 - x\), равна 54 квадратным единицам.