Який перший член геометричної прогресії, якщо знаменник дорівнює 1/2 і сума перших семи членів дорівнює -254?

Сладкая_Вишня

4

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем или отношением.

Пусть первый член прогрессии будет обозначен как \(a\), а знаменник - \(r\) (в данной задаче он равен 1/2).

Таким образом, первые семь членов геометрической прогрессии будут иметь вид:

\[a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5, ar^6\]

Сумма первых семи членов дана и равна -254. Поэтому, мы можем записать уравнение для суммы:

\[a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ar^6 = -254\]

Для удобства, давайте умножим это уравнение на \(r\):

\[ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ar^6 + ar^7 = -254r\]

Теперь, вычтем из этого уравнения исходное уравнение:

\[(ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ar^6 + ar^7) - (a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ar^6) = -254r - (-254)\]

Сократив одинаковые слагаемые, получим:

\[ar^7 - a = -254r + 254\]

Теперь, вынесем общий множитель \(a\):

\[a(r^7 - 1) = -254(r - 1)\]

Раскроем скобки:

\[ar^7 - a = -254r + 254\]

Теперь, давайте решим это уравнение относительно \(a\). Для этого подставим значение знаменника \(r = \frac{1}{2}\) и найдем \(a\):

\[\frac{a}{2^7} - a = -254 \cdot \frac{1}{2} + 254\]

Далее, упростим уравнение:

\[\frac{a}{128} - a = -127 + 254\]

\[\frac{a}{128} - \frac{128a}{128} = 127\]

\[-\frac{127a}{128} = 127\]

\[a = \frac{128 \cdot 127}{-127}\]

\[a = -128\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен -128.