Какова площадь круга, который описывает около квадрата со стороной?

Osa

66

Очень хорошо! Для решения этой задачи мы можем использовать информацию о квадрате и его связи с описанным вокруг него кругом.

Пусть сторона квадрата равна \(a\).

Шаг 1: Найдем диагональ квадрата.
Диагональ квадрата можно найти с помощью теоремы Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному диагональю \(d\), сторонами квадрата \(a\) и \(a\):

\[d^2 = a^2 + a^2\]
\[d^2 = 2a^2\]
\[d = \sqrt{2a^2}\]
\[d = a\sqrt{2}\]

Шаг 2: Найдем радиус окружности.
Радиус окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому:

\[r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 3: Найдем площадь круга.
Площадь круга можно найти по формуле:

\[S = \pi r^2\]

Подставим значение радиуса:

\[S = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2\]
\[S = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4}\]
\[S = \pi \cdot \frac{2a^2}{4}\]
\[S = \frac{\pi a^2}{2}\]

Таким образом, площадь круга, описывающего около квадрата со стороной \(a\), равна \(\frac{\pi a^2}{2}\).