Какова площадь области под кривыми графика функций y=4x-x^2?

Ирина_224

52

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти площадь области под графиком функции \(y = 4x - x^2\).

Для начала, давайте построим график этой функции, чтобы визуально представить, о какой области идет речь.

\[
\begin{align*}
y &= 4x - x^2 \\
y &= -(x^2 - 4x)
\end{align*}
\]

Мы можем заметить, что функция \(y\) является параболой, открытой вниз. Чтобы найти область под графиком этой параболы, нам нужно найти решения уравнения \(y = 0\), то есть места, где парабола пересекает ось \(x\).

\[
-(x^2 - 4x) = 0
\]

Чтобы решить это уравнение, посмотрим на его факторизацию:

\[
-(x(x - 4)) = 0
\]

Обратите внимание, что у нас есть два множителя, \(x\) и \(x - 4\), которые равны нулю:

\[
\begin{align*}
x &= 0 \\
x - 4 &= 0
\end{align*}
\]

Следовательно, у нас есть две точки пересечения параболы с осью \(x\): \(x = 0\) и \(x = 4\).

Теперь нам нужно найти значения \(y\) при этих точках, чтобы получить границы интегрирования, то есть высоты получившейся трапеции.

\[
\begin{align*}
y &= 4(0) - (0)^2 = 0 \\
y &= 4(4) - (4)^2 = 16 - 16 = 0
\end{align*}
\]

Мы видим, что значения \(y\) равны нулю и при \(x = 0\), и при \(x = 4\). Это означает, что интересующая нас область находится между \(x = 0\) и \(x = 4\) и под графиком функции \(y = 4x - x^2\).

Теперь мы готовы интегрировать функцию для нахождения площади под графиком. Поскольку функция \(y = 4x - x^2\) является стандартной параболой, мы можем использовать метод известной геометрической формулы для площади параболы: \(\frac{2}{3}a^3\), где \(a\) - высота параболы, равная высоте получившейся трапеции.

\[
a = 0 - 0 = 0
\]

Теперь мы можем вычислить площадь области под графиком. Подставив значения в формулу, получим:

\[
\frac{2}{3} \cdot 0^3 = 0
\]

Поэтому площадь области под графиком функции \(y = 4x - x^2\) равна нулю.