Какова площадь основания треугольной пирамиды со стороной основания, равной 10, и двугранным углом в основании, равным

Panda

33

Хорошо! Давайте решим эту задачу подробно.

Для начала, давайте нарисуем треугольную пирамиду с основанием, сторона которого равна 10, и двугранным углом в основании, равным 45 градусов.

        A

       /|\

      / | \

     /  |  \

    /   |   \

   /    |    \

  B --- C --- D

Здесь AB, BC и AC - стороны треугольника, а D - вершина треугольной пирамиды.

Теперь, чтобы найти площадь основания треугольной пирамиды, нам нужно найти площадь треугольника ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

        A

       /|

      / |

   h /  |

    /   |

   /    |

  B --- C

Здесь h - высота треугольника ABC.

Если мы угадаем, что AC - гипотенуза этого треугольника, то AB и BC станут его катетами.

Так как у нас имеется двугранный угол в основании, равный 45 градусам, мы можем утверждать, что у треугольника ABC два равных катета, а значит, это прямоугольный и равнобедренный треугольник.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. Мы знаем длину одного катета (10), и нам нужно найти длину гипотенузы.

Давайте найдем ее:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

\[10^2 + 10^2 = AC^2\]

\[100 + 100 = AC^2\]

\[200 = AC^2\]

\[AC = \sqrt{200}\]

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы AC, мы можем найти высоту треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике, высота равна половине длины гипотенузы, умноженной на синус угла между гипотенузой и основанием (в нашем случае это 45 градусов).

\[h = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \sin(45^\circ)\]

\[h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{200} \cdot \sin(45^\circ)\]

Теперь, когда мы нашли высоту треугольника ABC, мы можем найти его площадь, используя формулу площади треугольника:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\]

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{200} \cdot \sin(45^\circ)\]

\[S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 10 \cdot \sqrt{200} \cdot \sin(45^\circ)\]

\[S_{ABC} = \frac{5}{2} \sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)\]

Мы знаем, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:

\[S_{ABC} = \frac{5}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[S_{ABC} = \frac{5}{2} \cdot 1\]

\[S_{ABC} = \frac{5}{2}\]

Таким образом, площадь основания треугольной пирамиды со стороной основания 10 и двугранным углом в основании, равным 45 градусам, равна \(\frac{5}{2}\) квадратных единиц.