Какова площадь поверхности правильной треугольной призмы, если боковое ребро вдвое больше стороны основания, а сумма

Mihaylovna

45

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть сторона основания треугольной призмы равна \(a\). Тогда боковое ребро будет равно \(2a\), так как оно вдвое больше стороны основания.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:

\[ S_{бок} = П*H \]

где \(П\) - периметр основания, \(H\) - высота боковой грани.

У нас есть равнобедренный треугольник, поэтому периметр основания равен:

\[ П = 3a \]

Теперь нам нужно найти высоту \(H\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для правильного треугольника. Поскольку боковое ребро равно \(2a\), а катеты равны \(a\), то гипотенуза равна:

\[ c = \sqrt{(a^2 + a^2)} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]

Теперь найдем высоту треугольной грани призмы. Для этого проведем высоту к основанию. Эта высота поделит боковое ребро на две равные части. Получим два прямоугольных треугольника с катетами \(a\) и высотой \(H\). Тогда:

\[ (a\sqrt{2})^2 = a^2 + H^2 \]

\[ 2a^2 = a^2 + H^2 \]

\[ H^2 = a^2 \]

\[ H = a \]

Таким образом, высота боковой грани равна \(a\).

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы:

\[ S_{бок} = П*H = 3a*a = 3a^2 \]

Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна \(3a^2\).