Какова площадь прямоугольника с одной стороной длиной 5 см, если угол между его диагоналями составляет 60 градусов?

Рыжик

39

Хорошо, чтобы найти площадь прямоугольника, нам нужно знать длину его сторон. У нас есть только одна сторона, которая равна 5 см. Однако, нам дано, что угол между диагоналями прямоугольника составляет 60 градусов. Мы можем использовать это, чтобы найти вторую сторону прямоугольника.

Обратите внимание, что у правильного четырехугольника углы между его диагоналями равны 60 градусов. Зная это, мы можем предположить, что наш прямоугольник является правильным четырехугольником.

Давайте сначала найдем альтернативную сторону прямоугольника, используя теорему косинусов. Теорема косинусов гласит, что в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус двух произведений длин этих сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае, одна сторона прямоугольника равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60 градусов. Обозначим другую сторону прямоугольника как \(x\). Таким образом, мы имеем:

\[5^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos{60^\circ}\]

Выполняя вычисления, получим:

\[25 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{2} = 2x^2 - x^2\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[25 = x^2\]

Чтобы найти значение \(x\), возьмем квадратный корень с каждой стороны:

\[x = \sqrt{25} = 5\]

Теперь мы знаем, что сторона прямоугольника равна 5 см.

Чтобы найти площадь прямоугольника, мы умножаем длину его сторон. В нашем случае, длина одной стороны равна 5 см, а длина второй стороны также равна 5 см. Поэтому площадь прямоугольника равна:

\[Площадь = 5 \cdot 5 = 25 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь прямоугольника с одной стороной длиной 5 см и углом между его диагоналями 60 градусов составляет 25 квадратных сантиметров.