Какова площадь сечения шара плоскостью, которая проходит через конец диаметра под углом 30 градусов к нему? Задан

Babochka_665

58

Чтобы определить площадь сечения шара плоскостью, которая проходит через его диаметр под углом 30 градусов к нему, мы должны разделить данную задачу на две части: поиск высоты сечения и вычисление площади треугольника.

Для начала, мы можем воспользоваться свойством геометрической фигуры, называемой сечением шара плоскостью, перпендикулярной диаметру шара. Это свойство гласит, что сечение шара плоскостью, перпендикулярной диаметру, будет кругом. Таким образом, площадь такого сечения будет равна площади круга.

Для определения площади треугольника, ограничивающего это сечение, нам необходимо найти длину высоты треугольника. Зная, что угол между диаметром и плоскостью, проходящей через него, равен 30 градусов, мы можем использовать геометрические свойства треугольника, чтобы найти эту высоту.

Давайте обозначим диаметр шара как \(d\), радиус шара будет равен \(\frac{d}{2}\). Затем, чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать тригонометрию. В данном случае, мы можем использовать тангенс угла 30 градусов, чтобы найти отношение между высотой треугольника и радиусом шара.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[\tan 30 = \frac{{\text{{высота треугольника}}}}{{\frac{d}{2}}}\]

Решим это уравнение для высоты треугольника:

\[\text{{высота треугольника}} = (\tan 30) \cdot \frac{d}{2}\]

Для нахождения площади треугольника мы можем использовать следующую формулу:

\[\text{{площадь треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}\]

Так как у нас есть правильный треугольник, основание будет равно диаметру шара \(d\), а высота - высоте треугольника, которую мы нашли ранее.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения шара:

\[\text{{площадь сечения}} = \text{{площадь треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot (\tan 30) \cdot \frac{d}{2}\]

Теперь давайте посчитаем эту площадь.