Какова площадь шестиугольника, созданного посредством соединения середин сторон и двух противоположных вершин заданного

Poyuschiy_Dolgonog

37

Чтобы решить данную задачу, давайте посмотрим на строение шестиугольника, созданного посредством соединения середин сторон и двух противоположных вершин заданного прямоугольника.

Сначала найдем середины сторон прямоугольника. Заметим, что длина каждой стороны прямоугольника равна двум сторонам шестиугольника. Обозначим длину одной стороны прямоугольника через \(a\). Тогда длина одной стороны шестиугольника будет \(2a\).

Найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его длины \(a\) на ширину \(b\), то есть \(a \cdot b = 48\). Для нахождения ширины \(b\) используем эту формулу: \(b = \frac{48}{a}\).

Таким образом, мы нашли зависимость между \(a\) и \(b\).

Теперь давайте построим шестиугольник, используя середины сторон прямоугольника и две противоположные вершины прямоугольника. Полученный шестиугольник можно разделить на треугольники, каждый из которых можно рассматривать отдельно.

Поскольку ширина прямоугольника равна длине стороны шестиугольника, каждый из получившихся треугольников является равнобедренным.

Чтобы найти площадь каждого равнобедренного треугольника, давайте воспользуемся формулой площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - основание треугольника, а \(h\) - высота треугольника.

В нашем случае основание равно длине стороны шестиугольника, что равно \(2a\). Также нам нужно найти высоту треугольника.

Обратим внимание, что высота каждого из равнобедренных треугольников равна высоте прямоугольника. Обозначим высоту прямоугольника через \(h"\).

Теперь мы готовы вычислить площадь одного такого равнобедренного треугольника. Подставим в формулу и получим: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot h"\).

Но у нас есть шесть таких треугольников, так как изначальный шестиугольник разделен на шесть равных частей. Поэтому общая площадь шестиугольника будет равна \(6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot h"\).

Упростим это выражение и получим следующую формулу для нахождения площади шестиугольника: \(S_{\text{шестиугольника}} = 6a \cdot h"\).

Теперь осталось найти значения \(a\) и \(h"\) для того, чтобы вычислить площадь шестиугольника.

Используем полученное ранее соотношение между \(a\) и \(b\): \(b = \frac{48}{a}\). Подставим это значение \(b\) в формулу площади прямоугольника: \(a \cdot \frac{48}{a} = 48\). Таким образом, \(a\) может быть любым числом, кроме 0.

Для нахождения \(h"\) рассмотрим прямоугольный треугольник, вершина которого находится в одной из вершин прямоугольника, а противоположная вершина - середина противоположной стороны прямоугольника. Этот треугольник будет прямоугольным, поскольку одна из его сторон совпадает с одной из сторон прямоугольника. Используем теорему Пифагора: \(h"^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\).

Теперь, зная это уравнение, можно найти значение \(h"\). Для этого выразим \(h"\): \(h" = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\).

Наконец, мы можем вычислить площадь шестиугольника, зная значения \(a\) и \(h"\). Подставим их в полученную формулу: \(S_{\text{шестиугольника}} = 6a \cdot \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\).

Таким образом, площадь шестиугольника, созданного посредством соединения середин сторон и двух противоположных вершин заданного прямоугольника площадью 48 квадратных сантиметров, определяется формулой \(S_{\text{шестиугольника}} = 6a \cdot \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\), где \(a\) - длина стороны прямоугольника.