Какова площадь треугольника ABC и радиус окружности, описанной вокруг треугольника, если известно, что угол A имеет

Черная_Магия

30

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу площади треугольника, которая гласит:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(A)\]

Где \(S\) - это площадь треугольника, \(AB\) и \(BC\) - длины сторон треугольника, а \(A\) - угол между этими сторонами.

Первым делом, нам нужно найти значение синуса угла \(A\). Мы знаем, что косинус угла \(A\) равен \(3/4\). Чтобы найти синус, мы можем использовать следующую тригонометрическую тождество:

\[\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1\]

Решим это уравнение для синуса \(A\):

\[\sin^2(A) = 1 - \cos^2(A) = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\]

Теперь найдем значение синуса \(A\):

\[\sin(A) = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{20 \cdot \sqrt{7}}{4} = 5 \cdot \sqrt{7} \approx 8,37 \, \text{см}^2\]

Теперь рассмотрим описанную окружность треугольника ABC. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен половине длины стороны \(AC\). Чтобы найти \(AC\), мы можем использовать теорему косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(A)\]

Подставим известные значения:

\[AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{3}{4}\]

\[AC^2 = 25 + 16 - 30\]

\[AC^2 = 41 - 30\]

\[AC^2 = 11\]

\[AC = \sqrt{11}\]

Теперь найдем радиус окружности:

\[R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1,66 \, \text{см}\]

Итак, площадь треугольника ABC составляет примерно 8,37 квадратных сантиметра, а радиус окружности, описанной вокруг треугольника, составляет примерно 1,66 сантиметра.