Какова площадь треугольника, образованного пересечением попарно взаимно пересекающихся графиков линейных функций

Shnur_7878

49

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения графиков данных функций, а затем найти площадь треугольника, образованного этими точками.

Шаг 1: Найдем точку пересечения функций y=6/7x+2 и y=-2x+22.

Чтобы найти точку пересечения, приравняем данные функции и найдем значение x:

\[\frac{6}{7}x + 2 = -2x +22\]

Упростим уравнение:

\[\frac{6}{7}x + 2x = 22 - 2\]

\[\frac{20}{7}x = 20\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{7}{20}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[x = \frac{20 \cdot 7}{20} = 7\]

Теперь найдем значение y, подставив x=7 в одну из исходных функций. Используем функцию y=6/7x+2:

\[y = \frac{6}{7} \cdot 7 + 2 = 6 + 2 = 8\]

Таким образом, первая точка пересечения графиков данных функций имеет координаты (7, 8).

Шаг 2: Найдем точку пересечения функций y=2 и y=-2x+22.

Подставим y=2 в уравнение y=-2x+22 и найдем значение x:

\[2 = -2x + 22\]

Упростим уравнение:

\[-2x = 22 - 2\]

\[-2x = 20\]

Делим обе части уравнения на -2:

\[x = \frac{20}{-2} = -10\]

Теперь найдем значение y, подставив x=-10 в одну из исходных функций. Используем функцию y=2:

\[y = 2\]

Таким образом, вторая точка пересечения графиков данных функций имеет координаты (-10, 2).

Шаг 3: Теперь, когда мы знаем координаты двух точек, мы можем найти площадь треугольника, образованного этими точками.

Используем формулу для площади треугольника, зная координаты его вершин (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3):

\[S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|\]

В нашем случае точки пересечения – это вершины треугольника:

\(x_1 = 7\), \(y_1 = 8\)

\(x_2 = -10\), \(y_2 = 2\)

\(x_3 = ?\), \(y_3 = ?\)

Осталось найти третью вершину треугольника. Давайте вспомним, что у нас есть график функции \(y = 2\). Он параллелен оси x и проходит через точку (-10, 2).

Теперь, используя данный график, мы можем определить координаты третьей вершины треугольника. Она будет иметь координаты (x, 2).

Найдем x, приравняв функцию \(y = 2\) к функции \(y = \frac{6}{7}x + 2\):

\[2 = \frac{6}{7}x + 2\]

Упростим уравнение:

\[\frac{6}{7}x = 0\]

\[6x = 0\]

\[x = 0\]

Таким образом, третья вершина треугольника имеет координаты (0, 2).

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу:

\[S = \frac{1}{2} \left| 7(2 - 2) + (-10)(2 - 8) + 0(8 - 2) \right|\]

\[S = \frac{1}{2} \left| 0 - 60 + 0 \right|\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 60\]

\[S = 30\]

Таким образом, площадь треугольника, образованного пересечением данных графиков, равна 30 единицам площади.