Какова работа, необходимая для вывода ракеты за пределы земного поле тяготения, если ракета запускается с космического

Ogon

24

Для ответа на этот вопрос нам потребуется использовать законы сохранения энергии и гравитационной силы. Начнем с расчета работы, необходимой для вывода ракеты за пределы земного поле тяготения.

1. Для вывода ракеты за пределы земного поле тяготения необходимо преодолеть гравитационную силу, действующую на ракету. В данном случае, когда ракета находится на круговой орбите, эта сила равномерно направлена к центру Земли и имеет величину \(F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\), где \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли (\(5.97 \times 10^{24} \, \text{кг}\)), \(m\) - масса ракеты и \(r\) - радиус орбиты (равный сумме радиуса Земли и высоты орбиты ракеты).

2. В работе используется формула \(W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)\), где \(d\) - перемещение объекта, а \(\theta\) - угол между направлением силы и направлением перемещения. В данном случае, поскольку ракета движется в направлении противоположно гравитационной силе, угол между направлениями будет \(180^\circ\), а \(\cos(180^\circ) = -1\).

3. Перемещение объекта можно выразить как расстояние, пройденное по окружности, и равно \(2\pi r\), где \(r\) - радиус орбиты.

Теперь, зная эти формулы, мы можем приступить к расчету:

а) Рассчитаем работу, необходимую для вывода ракеты за пределы земного поля тяготения:
\[\begin{align*}
W &= F \cdot d \cdot \cos(\theta) \\
&= \left(\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\right) \cdot (2\pi r) \cdot (-1) \\
&= -2\pi G \cdot M \cdot m
\end{align*}\]

б) Чтобы выразить массу ракеты, нам понадобится использовать формулу кинетической энергии вращения:
\[W = \frac{1}{2} I \omega^2\]
Где \(I\) - момент инерции объекта и \(\omega\) - угловая скорость вращения. Поскольку ракета движется по круговой орбите, у нас есть связь между радиусом орбиты, линейной скоростью (\(v = \omega \cdot r\)) и угловой скоростью (\(\omega = \frac{v}{r}\)).

Теперь мы можем продолжить расчет:

в) Мы знаем, что работа, необходимая для вывода ракеты, равна кинетической энергии вращения, поэтому:
\[-2\pi G \cdot M \cdot m = \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{r}\right)^2\]

г) Масса ракеты (\(m\)) является неизвестной, поэтому нам понадобится еще одно уравнение. Для этого мы воспользуемся формулой момента инерции для цилиндра:
\[I = \frac{1}{2} m_{\text{цилиндра}} r_{\text{цилиндра}}^2\]

д) Подставим значение момента инерции в предыдущее уравнение:
\[-2\pi G \cdot M \cdot m = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m_{\text{цилиндра}} r_{\text{цилиндра}}^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2\]

е) Используя формулу кинетической энергии для цилиндра, \(K = \frac{1}{2} m v^2\), мы можем выразить массу ракеты:
\[-2\pi G \cdot M \cdot m = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m_{\text{цилиндра}} r_{\text{цилиндра}}^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2\]
\[\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m_{\text{цилиндра}} r_{\text{цилиндра}}^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2\]
\[m = \frac{m_{\text{цилиндра}} r_{\text{цилиндра}}^2}{2 r^2}\]

Таким образом, масса ракеты (\(m\)) равна \(\frac{m_{\text{цилиндра}} r_{\text{цилиндра}}^2}{2 r^2}\).

Окончательный ответ:
Масса ракеты, необходимая для вывода ее за пределы земного поля тяготения, равна \(\frac{m_{\text{цилиндра}} r_{\text{цилиндра}}^2}{2 r^2}\).