Какова разность между третьим и пятым членами геометрической прогрессии, если она равна 1200? Какова разность между

Александровна

32

Для решения задачи о разности между третьим и пятым членами геометрической прогрессии, мы должны знать формулу общего члена геометрической прогрессии. Формула имеет вид: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), где \(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии и \(q\) - знаменатель прогрессии.

Разность между третьим и пятым членами прогрессии равна \(a_5 - a_3\). Дано, что эта разность равна 1200. Мы также знаем, что третий член это \(a_3 = a_1 \cdot q^2\) и пятый член это \(a_5 = a_1 \cdot q^4\). Подставляем в выражение для разности и получаем уравнение:

\[a_5 - a_3 = a_1 \cdot q^4 - a_1 \cdot q^2 = 1200\]

Мы можем упростить это уравнение, факторизовав \(a_1\) и вынеся его за скобки:

\[a_1 \cdot (q^4 - q^2) = 1200\]

Теперь мы знаем, что произведение разности между пятой и третьей степенью \(q\) на \(a_1\) равно 1200. Давайте продолжим решение.

Разность между четвёртым и пятым членами геометрической прогрессии также равна 1000. Обозначим \(a_4\) - четвёртый член прогрессии. Тогда имеем:

\[a_5 - a_4 = a_1 \cdot q^4 - a_1 \cdot q^3 = 1000\]

Мы можем упростить это уравнение, вынеся общий множитель \(a_1\) и сократив:

\[a_1 \cdot (q^4 - q^3) = 1000\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} a_1 \cdot (q^4 - q^2) = 1200 \\ a_1 \cdot (q^4 - q^3) = 1000 \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, разделив оба уравнения друг на друга:

\[\frac{a_1 \cdot (q^4 - q^2)}{a_1 \cdot (q^4 - q^3)} = \frac{1200}{1000}\]

Сокращаем и упрощаем выражение:

\[\frac{q^4 - q^2}{q^4 - q^3} = \frac{6}{5}\]

Теперь мы можем решить это несложное уравнение для \(q\):

\[\frac{q^2 (q^2 - 1)}{q^3 (q - 1)} = \frac{6}{5}\]

Сокращаем \(q^2\) из числителя и \(q^3\) из знаменателя:

\[\frac{q^2 - 1}{q - 1} = \frac{6}{5}\]

Умножаем обе части на \(q - 1\):

\[q^2 - 1 = \frac{6}{5} (q - 1)\]

Раскрываем скобки:

\[q^2 - 1 = \frac{6}{5}q - \frac{6}{5}\]

Переносим все слагаемые с \(q\) в одну сторону:

\[q^2 - \frac{6}{5}q - 1 + \frac{6}{5} = 0\]

Сводим все к общему знаменателю:

\[\frac{5q^2 - 6q - 5}{5} = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью метода разложения на множители или используя квадратное уравнение:

\[(5q + 1)(q - 5) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(q\): \(q = -\frac{1}{5}\) и \(q = 5\).

Далее рассмотрим оба случая:

Случай 1: \(q = -\frac{1}{5}\)

Подставим \(q = -\frac{1}{5}\) в одно из исходных уравнений, например, в первое:

\[a_1 \cdot ((-\frac{1}{5})^4 - (-\frac{1}{5})^2) = 1200\]

Вычислим степени:

\[a_1 \cdot (\frac{1}{625} - \frac{1}{25}) = 1200\]

Упростим дроби:

\[a_1 \cdot (\frac{1}{625} - \frac{25}{625}) = 1200\]

\[a_1 \cdot (\frac{1 - 25}{625}) = 1200\]

\[a_1 \cdot (-\frac{24}{625}) = 1200\]

Делим обе части на \(-\frac{24}{625}\) для нахождения значения \(a_1\):

\[a_1 = \frac{1200}{-\frac{24}{625}}\]

\[a_1 = -\frac{1200 \cdot 625}{24}\]

\[a_1 \approx -31250\]

Теперь можем найти разность между третьим и пятым членами:

\[a_5 - a_3 = a_1 \cdot q^4 - a_1 \cdot q^2\]

Подставляем найденные значения:

\[(-31250) \cdot ((-\frac{1}{5})^4) - (-31250) \cdot ((-\frac{1}{5})^2) = ?\]

\[(-31250) \cdot (\frac{1}{625}) - (-31250) \cdot (\frac{1}{25}) = ?\]

Упростим дроби:

\[-31250 \cdot (\frac{1}{625}) + 31250 \cdot (\frac{1}{25})\]

\[-31250 \cdot (\frac{1}{625}) + 31250 \cdot (\frac{25}{625}) = ?\]

\[-31250 \cdot (\frac{1 + 25}{625}) = ?\]

\[-31250 \cdot (\frac{26}{625}) = ?\]

Конечный ответ: Для \(q = -\frac{1}{5}\), разность между третьим и пятым членами геометрической прогрессии равна \(-31250 \cdot (\frac{26}{625})\).

Случай 2: \(q = 5\)

Подставим \(q = 5\) в одно из исходных уравнений, например, в первое:

\[a_1 \cdot (5^4 - 5^2) = 1200\]

Вычислим степени:

\[a_1 \cdot (625 - 25) = 1200\]

\[a_1 \cdot 600 = 1200\]

Делим обе части на 600 для нахождения значения \(a_1\):

\[a_1 = \frac{1200}{600}\]

\[a_1 = 2\]

Теперь можем найти разность между третьим и пятым членами:

\[a_5 - a_3 = a_1 \cdot q^4 - a_1 \cdot q^2\]

Подставляем найденные значения:

\[2 \cdot (5^4) - 2 \cdot (5^2) = ?\]

\[2 \cdot 625 - 2 \cdot 25 = ?\]

\[1250 - 50 = ?\]

Конечный ответ: Для \(q = 5\), разность между третьим и пятым членами геометрической прогрессии равна 1200 - 1000 = 200.

Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\).

Подставляем значения \(a_1\) и \(q\):

\[S_5 = 2 \cdot \frac{5^5 - 1}{5 - 1}\]

\[S_5 = 2 \cdot \frac{3125 - 1}{4}\]

\[S_5 = 2 \cdot \frac{3124}{4}\]

\[S_5 = 2 \cdot 781 = 1562\]

Конечный ответ: Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 1562.