какова скорость каждого теплохода, если они одновременно вышли из морского порта, один в южном направлении, а другой

Веселый_Смех

43

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \( v_1 \) - скорость первого теплохода, который движется в южном направлении,
а \( v_2 \) - скорость второго теплохода, который движется на запад.

После 30 минут расстояние между теплоходами составило 15 км. Запишем это условие в виде уравнения:
\[ 30 \cdot \left( v_1 + v_2 \right) = 15 \]

Также, через 15 минут один из теплоходов был на 4,5 км дальше от порта, чем другой. Поскольку первый теплоход двигается в южном направлении, то он прошел \(\frac{1}{2} \cdot v_1\) километров. Второй теплоход в это же время прошел \(\frac{1}{4} \cdot v_2\) километров.

Исходя из этого, получаем следующее уравнение:
\[ \frac{1}{2} \cdot v_1 - \frac{1}{4} \cdot v_2 = 4.5 \]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
\[
\begin{align*}
30 \cdot \left( v_1 + v_2 \right) &= 15 \\
\frac{1}{2} \cdot v_1 - \frac{1}{4} \cdot v_2 &= 4.5 \\
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений. Начнем с второго уравнения, чтобы избавиться от дробей.

\[
\begin{align*}
\frac{1}{2} \cdot v_1 - \frac{1}{4} \cdot v_2 &= 4.5 \\
2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot v_1 - \frac{1}{4} \cdot v_2 \right) &= 2 \cdot 4.5 \\
v_1 - \frac{1}{2} \cdot v_2 &= 9 \\
\end{align*}
\]

Теперь добавим это уравнение к первому:

\[
\begin{align*}
30 \cdot \left( v_1 + v_2 \right) &= 15 \\
v_1 - \frac{1}{2} \cdot v_2 &= 9 \\
\end{align*}
\]

Умножим второе уравнение на 30, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[
\begin{align*}
30 \cdot v_1 - 15 \cdot v_2 &= 270 \\
30 \cdot \left( v_1 + v_2 \right) &= 15 \\
\end{align*}
\]

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

\[
\begin{align*}
30 \cdot v_1 - 15 \cdot v_2 - (30 \cdot v_1 + 15 \cdot v_2) &= 270 - 15 \\
30 \cdot v_1 - 15 \cdot v_2 - 30 \cdot v_1 - 15 \cdot v_2 &= 255 \\
-30 \cdot v_2 - 15 \cdot v_2 &= 255 \\
-45 \cdot v_2 &= 255 \\
\end{align*}
\]

Теперь разделим это уравнение на -45, чтобы найти \(v_2\):

\[
\begin{align*}
-45 \cdot v_2 &= 255 \\
v_2 &= \frac{255}{-45} \\
v_2 &= -5.6667 \\
\end{align*}
\]

\(v_2\) равно -5.6667 (км/мин), но скорость не может быть отрицательной, поэтому избавимся от знака минус и получим \(v_2 = 5.6667\) (км/мин).

Теперь, чтобы найти \(v_1\), подставим значение \(v_2\) в любое из двух уравнений системы. Для удобства выберем второе уравнение:

\[
\begin{align*}
v_1 - \frac{1}{2} \cdot v_2 &= 9 \\
v_1 - \frac{1}{2} \cdot 5.6667 &= 9 \\
v_1 - 2.8333 &= 9 \\
v_1 &= 11.8333 \\
\end{align*}
\]

\(v_1\) равно 11.8333 (км/мин).

Таким образом, скорость первого теплохода \(v_1\) равна 11.8333 (км/мин), а скорость второго теплохода \(v_2\) равна 5.6667 (км/мин).