Какова скорость точки b подвижного колеса относительно центра неподвижного колеса?

Синица

43

Для решения этой задачи нам понадобится понимание того, как движется подвижное колесо относительно неподвижного колеса. Предположим, что неподвижное колесо находится в центре координат, а подвижное колесо имеет радиус \(r\) и его центр находится в точке с координатами \((x, y)\).

Скорость точки \(b\) (относительно центра неподвижного колеса) может быть найдена с помощью формулы для скорости точки на вращающемся колесе. Когда колесо вращается, все точки на его поверхности движутся по окружности.

Так как центр подвижного колеса смещается относительно неподвижного колеса, нам нужно учесть и линейную скорость \(v_{cm}\) центра масс подвижного колеса.

Линейная скорость центра масс определяется как производная изменения положения колеса по времени. Значит, чтобы найти \(v_{cm}\), нам понадобятся сведения о скорости и ускорении подвижного колеса.

Пусть \(\omega\) обозначает угловую скорость подвижного колеса (скорость вращения), а \(\alpha\) - его угловое ускорение. Это позволит нам выразить линейную скорость \(v_{cm}\) через угловую скорость и радиус подвижного колеса:

\[v_{cm} = \omega r\]

Скорость точки \(b\) относительно центра масс подвижного колеса равна линейной скорости центра масс. Однако, нам нужна скорость точки \(b\) относительно неподвижного колеса.

Для этого, нам понадобится учесть скорость центра масс и добавить линейную скорость самой точки \(b\), обусловленную вращением колеса. Поскольку скорость точки, двигающейся с угловой скоростью \(\omega\), определяется радиусом \(r\) относительно центра колеса, скорость точки \(b\) будет равна:

\[v_b = v_{cm} + (\omega \times r)\]

Таким образом, чтобы найти скорость точки \(b\) относительно центра неподвижного колеса, нам нужно сложить линейную скорость центра масс колеса и линейную скорость, обусловленную вращением колеса.

Поэтому, окончательный ответ состоит из двух компонент:

1. Линейная скорость центра масс колеса: \(v_{cm} = \omega r\).
2. Линейная скорость точки \(b\) относительно центра неподвижного колеса: \(v_b = v_{cm} + (\omega \times r)\).

Пожалуйста, обратите внимание, что ответ дан в общем виде и основан на предположении о вращении колеса без скольжения. Это классический результат, который обеспечивает хорошее приближение в большинстве случаев. Надеюсь, это объяснение поможет понять, как найти скорость точки \(b\) относительно центра неподвижного колеса.