Какова сумма логарифма числа х по основанию 9 и логарифма числа 3 по основанию х в квадрате?

Busya

30

Для решения данной задачи, мы будем использовать свойства логарифмов и алгебруические операции. Позвольте мне провести решение по шагам.

Мы имеем задачу найти сумму логарифма числа \(x\) по основанию 9 и логарифма числа 3 по основанию \(x\) в квадрате. Давайте обозначим данную сумму как \(S\).

1. Из свойств логарифмов мы знаем, что логарифм числа по основанию, равному самому числу, всегда равен 1. Таким образом, логарифм числа 9 по основанию 9 будет равен 1:
\[ \log_{9}(9) = 1. \]

2. Далее, по свойству логарифма мы можем записать формулу:
\[ \log_{a}(x) + \log_{b}(y) = \log_{a}(x \cdot y). \]

Применим это свойство к нашей задаче:
\[ \log_{9}(x) + \log_{x^{2}}(3) = \log_{9}(x \cdot (3)^{\frac{1}{x^{2}}}). \]

3. Раскроем скобку:
\[ \log_{9}(x \cdot (3)^{\frac{1}{x^{2}}}) = \log_{9}(3^{\frac{1}{x^{2}}} \cdot x). \]

4. Теперь применим свойство логарифма, согласно которому \(\log_{a}(b^{c}) = c \cdot \log_{a}(b)\):
\[ \log_{9}(3^{\frac{1}{x^{2}}} \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \log_{9}(3) + \log_{9}(x). \]

Таким образом, сумма логарифма числа \(x\) по основанию 9 и логарифма числа 3 по основанию \(x\) в квадрате равняется:
\[ S = \frac{1}{x^{2}} \cdot \log_{9}(3) + \log_{9}(x). \]

Мы рассмотрели шаги для нахождения этой суммы с использованием свойств логарифмов. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.