Какова сумма первых 11 членов арифметической прогрессии, если шестой член равен

Skvorec

42

\(27\) и разность прогрессии равна \(3\)?

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нам даны первый член последовательности (\(a_1\)) и разность между последовательными членами (\(d\)). В нашем случае \(a_6 = 27\) и \(d = 3\).
2. Чтобы найти сумму первых \(11\) членов (\(S_{11}\)), мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\]

3. Подставим известные значения в формулу:

\[S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2a_1 + (11-1)d)\]

4. Заметим, что для нахождения суммы первых \(11\) членов нам не нужны значения всех членов последовательности, поэтому можно использовать найденное значение \(a_6\).
5. Подставим это значение в формулу:

\[S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2 \cdot 27 + (11-1) \cdot 3)\]

6. Упростим выражение:

\[S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (54 + 10 \cdot 3)\]

\[S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (54 + 30)\]

7. Продолжим упрощение:

\[S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 84\]

\[S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 84 = 462\]

Таким образом, сумма первых \(11\) членов арифметической прогрессии с \(a_6 = 27\) и разностью \(d = 3\) равна \(462\).