Какова сумма первых шести членов геометрической прогрессии, если пятый член равен -2304, а восьмой член равен -147456?

Муха

44

Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы \(n\) членов геометрической прогрессии. Формула выглядит следующим образом:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\]

Где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии;
\(a\) - первый член прогрессии;
\(r\) - знаменатель прогрессии.

У нас даны значения пятого и восьмого членов прогрессии. Для нахождения первого члена (\(a\)) и знаменателя (\(r\)) нам понадобятся эти значения.

Первый шаг - найти значение знаменателя (\(r\)). Для этого нам нужно разделить восьмой член на пятый член:

\[r = \frac{{-147456}}{{-2304}}\]

\[r = 64\]

Теперь у нас есть знаменатель (\(r\)). Подставим его в уравнение для нахождения первого члена (\(a\)). Используем известную формулу:

\[a = \frac{{\text{{пятый член}}}}{{r^4}}\]

\[a = \frac{{-2304}}{{64^4}}\]

\[a = \frac{{-2304}}{{16777216}}\]

\[a = -\frac{{1}}{{7271}}\]

Теперь, когда мы имеем значения первого члена (\(a\)) и знаменателя (\(r\)), мы можем найти сумму первых шести членов прогрессии (\(S_6\)). Подставим значения в формулу:

\[S_6 = -\frac{{1}}{{7271}} \cdot \frac{{1 - (64^6)}}{{1 - 64}}\]

\[S_6 = -\frac{{1}}{{7271}} \cdot \frac{{1 - 68719476736}}{{-63}}\]

\[S_6 = \frac{{1}}{{7271}} \cdot \frac{{68719476735}}{{63}}\]

\[S_6 \approx 68602.22\]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна примерно 68602.22.