Какова сумма первых восьми членов геометрической прогрессии, где знаменатель равен 2 и сумма второго и пятого членов

Sumasshedshiy_Rycar

43

Для решения данной задачи, нам необходимо посчитать сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, где знаменатель равен 2 и сумма второго и пятого членов равна заданной величине.

Шаг 1: Найдем первый член геометрической прогрессии. Первый член (или нулевой член) такой прогрессии обозначается как \(a_0\) и равен стартовому значению прогрессии. В данной задаче, нам дано, что знаменатель равен 2, поэтому первый член равен:

\[a_0 = 1\]

Шаг 2: Найдем сумму второго и пятого членов геометрической прогрессии. Второй член прогрессии можно найти, используя формулу:

\[a_2 = a_0 \times r^2\]

Где \(r\) - это знаменатель геометрической прогрессии. В нашем случае \(r = 2\), поэтому:

\[a_2 = 1 \times 2^2 = 4\]

Аналогично, пятый член геометрической прогрессии:

\[a_5 = a_0 \times r^5\]

\[a_5 = 1 \times 2^5 = 32\]

Шаг 3: Посчитаем сумму первых восьми членов геометрической прогрессии. Общая формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{{a_0 \times (1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

Где \(S_n\) - это сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии. В нашем случае, нам необходимо посчитать сумму первых восьми членов, поэтому \(n = 8\). Подставляем известные значения в формулу:

\[S_8 = \frac{{1 \times (1 - 2^8)}}{{1 - 2}}\]

\[S_8 = \frac{{1 \times (1 - 256)}}{{-1}}\]

\[S_8 = \frac{{1 - 256}}{{-1}}\]

\[S_8 = \frac{{-255}}{{-1}}\]

\[S_8 = 255\]

Таким образом, сумма первых восьми членов геометрической прогрессии, где знаменатель равен 2 и сумма второго и пятого членов равна заданной величине, равна 255.