Какова сумма всех целых чисел, находящихся вне двух интервалов, являющихся решением уравнения |2 - |3 - x|| = |3

Камень

51

Для решения данной задачи, давайте сначала найдем значения переменной \(x\), которые удовлетворяют заданному уравнению:

\(|2 - |3 - x|| = |3 - x|\)

Для начала, обозначим внутренний интервал через \(A\) и внешний интервал через \(B\).

Так как модуль от значения всегда неотрицателен, мы можем записать два случая для каждого модуля в уравнении и рассмотреть их по отдельности.

Случай 1: \(3 - x \geq 0\) (т.е. \(x \leq 3\))

Для данного случая, уравнение примет вид:

\(|2 - (3 - x)| = 3 - x\)

Поскольку \(3 - x \geq 0\), то \(3 - x\) может быть заменено на свое значение без модуля:

\(|2 - (3 - x)| = 3 - x\)
\(|2 - 3 + x| = 3 - x\)
\(|x - 1| = 3 - x\)

Далее, мы рассмотрим два случая: \(x - 1 \geq 0\) и \(x - 1 < 0\)

В первом случае, \(|x - 1|\) может быть заменено на его значение без модуля:

\(x - 1 = 3 - x\)
\(2x = 4\)
\(x = 2\)

Во втором случае, \(|x - 1|\) будет менять знак на противоположный:

\(1 - x = 3 - x\)
\(1 = 3\)

Поскольку последнее уравнение не имеет решений, мы не получаем новые значения для переменной \(x\).

Таким образом, в случае 1, имеем только одно значение, которое удовлетворяет уравнению, \(x = 2\).

Случай 2: \(3 - x < 0\) (т.е. \(x > 3\))

Для данного случая, уравнение можно переписать следующим образом:

\(|2 - |3 - x|| = x - 3\)

Поскольку \(3 - x < 0\), можно заменить \(3 - x\) на \(-(3 - x)\), и получим:

\(|2 - |-(3 - x)|| = x - 3\)
\(|2 + (3 - x)| = x - 3\)
\(|5 - x| = x - 3\)

Далее, рассмотрим два случая: \(5 - x \geq 0\) и \(5 - x < 0\)

В первом случае, \(|5 - x|\) может быть заменено на его значение без модуля:

\(5 - x = x - 3\)
\(2x = 8\)
\(x = 4\)

Во втором случае, \(|5 - x|\) будет менять знак на противоположный:

\(x - 5 = x - 3\)
\(-5 = -3\)

Поскольку последнее уравнение не имеет решений, мы не получаем новые значения для переменной \(x\).

Таким образом, в случае 2, имеем только одно значение, которое удовлетворяет уравнению, \(x = 4\).

Итак, мы получаем два значения для переменной \(x\), которые удовлетворяют исходному уравнению: \(x = 2\) и \(x = 4\).

Теперь, давайте найдем сумму всех целых чисел, находящихся вне двух интервалов.

Первый интервал: \((-\infty, 2)\)

Целые числа в данном интервале: \(\{-\infty, -3, -2, -1, 0, 1\}\)
Сумма целых чисел в данном интервале: \(-3 - 2 - 1 + 0 + 1 = -5\)

Второй интервал: \((2, 4)\)

Целые числа в данном интервале: \(\{3\}\)
Сумма целых чисел в данном интервале: \(3\)

Таким образом, сумма всех целых чисел, находящихся вне двух интервалов, являющихся решением данного уравнения, равна: \(-5 + 3 = -2\).