Какова сумма всех целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: {12d+39>

Primula

43

Чтобы решить данную систему неравенств, нам нужно выяснить, какие значения переменной \(d\) удовлетворяют каждому неравенству и одновременно удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Первое неравенство: \(12d + 39 \geq 0\)

Для начала, вычтем 39 из обеих сторон неравенства:

\(12d + 39 - 39 \geq 0 - 39\)

Упростим:

\(12d \geq -39\)

Теперь разделим обе стороны на 12:

\(\frac{{12d}}{{12}} \geq \frac{{-39}}{{12}}\)

Опять упростим:

\(d \geq -\frac{{13}}{{4}}\)

Таким образом, все значения переменной \(d\), больше или равные \(-\frac{{13}}{{4}}\), удовлетворяют первому неравенству.

Второе неравенство: \(3d < 27\)

Для начала, разделим обе стороны на 3:

\(\frac{{3d}}{{3}} < \frac{{27}}{{3}}\)

Упростим:

\(d < 9\)

Таким образом, все значения переменной \(d\), меньше 9, удовлетворяют второму неравенству.

Теперь объединим условия обоих неравенств и найдем значения переменной \(d\), которые удовлетворяют всей системе:

\[d \geq -\frac{{13}}{{4}} \quad \text{и} \quad d < 9\]

Для определения интервала значений переменной \(d\), которые удовлетворяют всей системе, найдем пересечение этих двух интервалов.

Возьмем наименьшее значение из обоих интервалов и наибольшее значение из обоих интервалов:

\[-\frac{{13}}{{4}} \leq d < 9\]

Таким образом, значения переменной \(d\), которые удовлетворяют данной системе неравенств, - это все числа от -13/4 включительно до 9 (не включая само значение 9).

Теперь, чтобы найти сумму всех целых чисел в этом интервале, лучше всего воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{{n \cdot (a + b)}}{2}\]

где \(S\) - сумма всех чисел, \(n\) - количество чисел в прогрессии, \(a\) - первое число в прогрессии, \(b\) - последнее число в прогрессии.

В данном случае, \(n\) равно количеству целых чисел в интервале \(-\frac{{13}}{{4}}\) до 8, а \(a\) и \(b\) равны первому и последнему целым числам в этом интервале соответственно.

Рассмотрим количество чисел в интервале:

\(\frac{{b - a}}{{1}} + 1 = 8 - (-2) + 1 = 11\) (c этого показывать как отсчитывали самая сложная часть)

Теперь найдем значение суммы:

\[S = \frac{{11 \cdot (-2 + 8)}}{2} = \frac{{11 \cdot 6}}{2}\]

Упростим:

\[S = 11 \cdot 3 = 33\]

Итак, сумма всех целых чисел, удовлетворяющих данной системе неравенств, равна 33.