Какова сумма всех натуральных чисел, которые меньше 114 и дают остаток при делении

Ilya

58

Для решения данной задачи, нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые меньше 114 и дают остаток при делении на 5 равный 3.

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где S - сумма прогрессии, n - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

Поскольку нам нужно найти сумму чисел, меньших 114 и дающих остаток 3 при делении на 5, наша арифметическая прогрессия будет представлять все такие числа.

Первый член прогрессии будет наименьшим числом, удовлетворяющим этому условию, то есть первое такое число, это 8 (т.к. 8 % 5 = 3).

Теперь нам нужно найти последний член прогрессии. Для этого мы должны найти максимальное число, меньшее 114 и дающее остаток 3 при делении на 5. Найдя это число, мы можем найти количество членов прогрессии, просто вычтя первый член из последнего и прибавив 1 (т.к. первый член включается в прогрессию, а последний исключается). Затем, подставив все значения в формулу, мы можем найти искомую сумму.

Наибольшее число, меньшее 114 и дающее остаток 3 при делении на 5 - это 113.

Количество членов прогрессии: \(n = 113 - 8 + 1 = 106\).

Теперь подставим значения в формулу:

\[S = \frac{106}{2}(8 + 113)\]
\[S = 53(121)\]
\[S = 6433\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, которые меньше 114 и дают остаток 3 при делении на 5, равна 6433.