Какова сумма значений х1 и у1, являющихся решением системы уравнений {х-у=3 {х²-у²=18, без необходимости решать

Oleg_9861

32

Для того чтобы найти сумму значений \(x_1\) и \(y_1\), которые являются решением системы уравнений
\[
\begin{align*}
x - y &= 3 \\
x^2 - y^2 &= 18,
\end{align*}
\]
мы можем использовать метод замены переменных.

Для этого, давайте представим \(x\) и \(y\) в виде суммы и разности других переменных, так что \(x = a + b\) и \(y = a - b\), где \(a\) и \(b\) - новые переменные.

Теперь давайте заменим \(x\) и \(y\) в нашей системе уравнений:
\[
\begin{align*}
(a + b) - (a - b) &= 3 \\
(a + b)^2 - (a - b)^2 &= 18.
\end{align*}
\]

Упрощая первое уравнение, получим:
\[
2b = 3,
\]
откуда следует, что \(b = \frac{3}{2}\).

Теперь мы можем найти \(a\) с помощью второго уравнения:
\[
\begin{align*}
(a + \frac{3}{2})^2 - (a - \frac{3}{2})^2 &= 18 \\
a^2 + 3a + \frac{9}{4} - (a^2 - 3a + \frac{9}{4}) &= 18 \\
6a &= 18 \\
a &= 3.
\end{align*}
\]

Итак, мы нашли, что \(a = 3\) и \(b = \frac{3}{2}\).

Теперь мы можем найти \(x_1\) и \(y_1\) с помощью наших замен:
\[
\begin{align*}
x_1 &= a + b \\
y_1 &= a - b.
\end{align*}
\]

Подставляя значения \(a\) и \(b\), получаем:
\[
\begin{align*}
x_1 &= 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \\
y_1 &= 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}.
\end{align*}
\]

Итак, сумма значений \(x_1\) и \(y_1\) равна \(\frac{9}{2} + \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6\).

Таким образом, сумма значений \(x_1\) и \(y_1\) составляет 6.