Какова вероятность, что среди случайно выбранных шести натуральных чисел от 1 до 32 включительно не больше двух будут

Вихрь

47

Данная задача может быть решена с использованием комбинаторики и принципа умножения вероятностей.

Первым шагом мы должны определить общее количество возможных вариантов выбора шести натуральных чисел от 1 до 32 включительно. Для этого можно воспользоваться комбинаторной формулой для количества сочетаний без повторений:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

Где \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов, \(n!\) - факториал числа \(n\), \(k!\) - факториал числа \(k\), а \((n-k)!\) - факториал разности \(n\) и \(k\).

В нашем случае, \(n = 32\) (всего возможных чисел от 1 до 32) и \(k = 6\) (необходимо выбрать шесть чисел). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
C_{32}^6 = \frac{{32!}}{{6! \cdot (32-6)!}}
\]

Рассчитаем это значение численно:

\[
C_{32}^6 = \frac{{32!}}{{6! \cdot 26!}} = \frac{{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 906192
\]

Теперь нам нужно определить количество благоприятных вариантов, то есть вариантов, где не больше двух чисел будут кратными числу. Для этого мы можем поделить задачу на три случая:

1) Ни одно число не кратно выбранному числу;
2) Одно число кратно выбранному числу;
3) Два числа кратны выбранному числу.

Для каждого случая мы можем использовать принцип умножения вероятностей, где вероятность выбрать число, которое не кратно выбранному числу, составляет \(\frac{{30}}{{32}}\), вероятность выбрать число, кратное выбранному числу, составляет \(\frac{{2}}{{32}}\) (при условии, что выбрано только одно кратное число) и вероятность выбрать два числа, кратных выбранному числу, составляет \(\frac{{2}}{{32}}\) (при условии, что выбраны только два кратных числа).

Итак, давайте рассчитаем вероятность для каждого случая и затем сложим результаты:

1) Вероятность выбрать шесть чисел, ни одно из которых не кратно выбранному числу:

\(\left(\frac{{30}}{{32}}\right)^6\)

2) Вероятность выбрать шесть чисел, одно из которых кратно выбранному числу:

\(\left(\frac{{2}}{{32}}\right) \cdot \left(\frac{{30}}{{32}}\right)^5\)

3) Вероятность выбрать шесть чисел, два из которых кратны выбранному числу:

\(\left(\frac{{2}}{{32}}\right)^2 \cdot \left(\frac{{30}}{{32}}\right)^4\)

Теперь нужно сложить все эти вероятности вместе:

\(\left(\frac{{30}}{{32}}\right)^6 + \left(\frac{{2}}{{32}}\right) \cdot \left(\frac{{30}}{{32}}\right)^5 + \left(\frac{{2}}{{32}}\right)^2 \cdot \left(\frac{{30}}{{32}}\right)^4\)

Рассчитаем это численно:

\(\left(\frac{{30}}{{32}}\right)^6 + \left(\frac{{2}}{{32}}\right) \cdot \left(\frac{{30}}{{32}}\right)^5 + \left(\frac{{2}}{{32}}\right)^2 \cdot \left(\frac{{30}}{{32}}\right)^4 \approx 0.563\)

Таким образом, вероятность того, что среди случайно выбранных шести натуральных чисел от 1 до 32 включительно не больше двух будут кратны числу, составляет приблизительно 0.563 или около 56.3%.