Какова вероятность поражения цели после осуществления двух выстрелов?

Южанка

53

Для решения этой задачи, нам необходимо знать несколько параметров. Пусть вероятность поражения цели при одном выстреле равна \(p\), а вероятность промаха - \(q\) (где \(q = 1 - p\)). Мы также предполагаем, что вероятность поражения цели при каждом выстреле одинакова и не зависит от предыдущих выстрелов.

Чтобы найти вероятность поражения цели после двух выстрелов, мы можем рассмотреть все возможные комбинации результатов выстрелов: поражение-поражение, поражение-промах, промах-поражение и промах-промах.

Давайте посмотрим на каждый случай по отдельности:

1. Поражение-поражение:
Если первый выстрел поражает цель с вероятностью \(p\) и второй выстрел также поражает с вероятностью \(p\), то вероятность получить поражение-поражение равна произведению этих вероятностей: \(P_{\text{п-п}} = p \cdot p = p^2\).

2. Поражение-промах:
Если первый выстрел поражает цель с вероятностью \(p\), а второй промахивается с вероятностью \(q\), то вероятность получить поражение-промах равна произведению этих вероятностей: \(P_{\text{п-р}} = p \cdot q = p \cdot (1-p) = p - p^2\).

3. Промах-поражение:
Если первый выстрел промахивается с вероятностью \(q\), а второй поражает цель с вероятностью \(p\), то вероятность получить промах-поражение равна произведению этих вероятностей: \(P_{\text{р-п}} = q \cdot p = (1-p) \cdot p = p - p^2\).

4. Промах-промах:
Если оба выстрела промахиваются, то вероятность этого события равна произведению вероятностей промахов: \(P_{\text{р-р}} = q \cdot q = q^2\).

Теперь, чтобы найти общую вероятность поражения цели после двух выстрелов, мы должны сложить вероятности каждого из этих случаев:

\[P_{\text{поражение}} = P_{\text{п-п}} + P_{\text{п-р}} + P_{\text{р-п}} + P_{\text{р-р}} = p^2 + p - p^2 + p - p^2 + q^2\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[P_{\text{поражение}} = 2p - p^2 + q^2\]

Это и будет искомая вероятность поражения цели после осуществления двух выстрелов.