Какова вероятность поступления половины из 26 абитуриентов в университет, в котором имеется всего 2 места в конкурсе?

Magicheskiy_Labirint

59

Для решения этой задачи нужно использовать понятие комбинаторики и вероятности. Дано, что университет имеет всего 2 места для 26 абитуриентов. Мы должны определить вероятность того, что половина из 26 абитуриентов поступит.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу вероятности, которая гласит:

\[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}}\]

Где P(A) - вероятность наступления события A, n(A) - количество благоприятных исходов для события A, а n(S) - количество возможных исходов (всего исходов).

В данной задаче благоприятные исходы - это количество способов разделить 26 абитуриентов на две равные группы из 13 человек, так как мы ищем вероятность поступления половины абитуриентов.

Чтобы найти количество благоприятных исходов, мы можем использовать формулу сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где C(n, k) - количество сочетаний из n элементов по k.

В данном случае n = 26, а k = 13 (половина из 26). Подставим значения в формулу:

\[C(26, 13) = \frac{{26!}}{{13!(26-13)!}}\]

Вычислим это значение:

\[C(26, 13) = \frac{{26!}}{{13! \cdot 13!}}\]

\[C(26, 13) = \frac{{26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}}{{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 13!}}\]

\[C(26, 13) = \frac{{26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}}{{13!}}\]

После вычислений мы получаем значение количества благоприятных исходов. Теперь нам нужно найти количество возможных исходов (n(S)).

Количество возможных исходов - это количество способов выбрать 2 абитуриентов из 26, что можно выразить следующим образом:

\[C(26, 2) = \frac{{26!}}{{2! \cdot (26-2)!}}\]

Вычислим значение:

\[C(26, 2) = \frac{{26!}}{{2! \cdot 24!}}\]

\[C(26, 2) = \frac{{26 \cdot 25}}{{2 \cdot 1}}\]

\[C(26, 2) = \frac{{650}}{{2}}\]

\[C(26, 2) = 325\]

Теперь у нас есть количество благоприятных исходов (n(A)) и количество возможных исходов (n(S)). Мы можем вычислить вероятность (P(A)):

\[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}} = \frac{{325}}{{325}} = 1\]

Итак, вероятность поступления половины из 26 абитуриентов составляет 1, то есть это гарантированное событие.