Какова вероятность того, что больше 15 клиентов из 21 случайно выбранных клиентов банка расплатятся по кредитам

Yangol

32

Чтобы решить эту задачу, мы должны воспользоваться биномиальным распределением. Дано: из 21 случайно выбранных клиентов банка, нам нужно определить вероятность того, что больше 15 клиентов расплатятся по кредитам вовремя.

Перед тем, как начать, давайте определимся с некоторыми обозначениями:
- n - общее количество клиентов (в данном случае n = 21).
- x - количество клиентов, которые расплатятся по кредитам вовремя (в данной задаче, x > 15).
- p - вероятность того, что отдельно взятый клиент расплатится по кредиту вовремя (это предположение, которое мы примем исходя из предоставленных данных).
- q - вероятность того, что отдельно взятый клиент НЕ расплатится по кредиту вовремя (q = 1 - p).

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Найдем вероятность того, что больше 15 клиентов из 21 расплатятся по кредитам вовремя. Это можно сделать с помощью формулы биномиального распределения:

\[P(X > 15) = \sum_{x=16}^{21}C_{21}^{x} \cdot p^x \cdot q^{(21-x)}\]

где \(C_{21}^{x}\) - количество сочетаний из 21 по x.

2. Рассчитаем значение данной вероятности. Подставим значения в формулу:

\[P(X > 15) = \sum_{x=16}^{21}C_{21}^{x} \cdot p^x \cdot q^{(21-x)}\]

\[P(X > 15) = C_{21}^{16} \cdot p^{16} \cdot q^{5} + C_{21}^{17} \cdot p^{17} \cdot q^{4} + ...\]

Так как нам даны значения \(p\) и \(q\) (вероятность того, что клиент расплатится и не расплатится соответственно), мы можем подставить их вместо \(p\) и \(q\) в формулу для уточнения ответа.

3. Для решения второй части задачи, мы должны найти количество клиентов \(x\), которые наиболее вероятно будут погашать долги по кредитам вовремя.

Вероятность, которая максимизируется, связана с пиком биномиального распределения. В данном случае, наиболее вероятное количество клиентов можно определить, используя формулу для ожидаемого значения биномиального распределения:

\[E(X) = n \cdot p\]

В нашем случае:

\[E(X) = 21 \cdot p\]

Таким образом, мы можем рассчитать ожидаемое количество клиентов, которые будут погашать долги по кредитам вовремя.

Это развернутое решение и может быть использовано для лучшего понимания задачи школьником.