Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян семян взойдут по меньшей мере четыре, если всхожесть семян

Lunnyy_Renegat

46

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться биномиальным распределением вероятностей. Для этого, давайте разобьем нашу задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Определение успеха и неудачи.
Успехом в нашей задаче будет семя, которое прорастает и выходит из почвы, а неудачей - семя, которое не прорастает. Мы знаем, что всхожесть семян составляет 80%, поэтому вероятность успеха равна 0.8, а вероятность неудачи - 0.2.

Шаг 2: Определение числа испытаний и заданного числа успехов.
У нас есть 5 посеянных семян, поэтому общее число испытаний равно 5. Мы хотим узнать вероятность того, что по меньшей мере 4 семена прорастут.

Шаг 3: Расчет вероятности.
Для расчета вероятности мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где \(P(X=k)\) - вероятность того, что произойдет \(k\) успехов в \(n\) испытаниях, \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), а \(p\) - вероятность успеха.

Мы хотим узнать вероятность, что по меньшей мере 4 семена прорастут, то есть вероятность для \(k=4\) и \(k=5\). Давайте посчитаем эти значения.

Для \(k=4\):
\[P(X=4) = C_5^4 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2^{5-4}\]

Для \(k=5\):
\[P(X=5) = C_5^5 \cdot 0.8^5 \cdot 0.2^{5-5}\]

Теперь, давайте посчитаем эти значения.

\[P(X=4) = C_5^4 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2^{5-4}\]
\[P(X=4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot 0.8^4 \cdot 0.2\]

Вычислим \(C_5^4\):
\[C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 5\]

Подставим это значение в формулу:
\[P(X=4) = 5 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2\]

Теперь, посчитаем \(P(X=5)\):
\[P(X=5) = C_5^5 \cdot 0.8^5 \cdot 0.2^{5-5}\]
\[P(X=5) = \frac{5!}{5!(5-5)!} \cdot 0.8^5 \cdot 0.2^0\]

Вычислим \(C_5^5\):
\[C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 1\]

Подставим это значение в формулу:
\[P(X=5) = 1 \cdot 0.8^5 \cdot 0.2^0\]

Теперь, сложим эти две вероятности, чтобы получить искомую вероятность:
\[P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5)\]

Подставим значения:
\[P(X \geq 4) = (5 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2) + (1 \cdot 0.8^5 \cdot 0.2^0)\]

Вычислим эту сумму и округлим до двух знаков после запятой, чтобы получить окончательный ответ.

\[P(X \geq 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728\]

Итак, вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут по меньшей мере четыре, составляет 0.74 (округленно).