Какова вероятность того, что нормально распределённая случайная величина, имеющая математическое ожидание

Скользящий_Тигр

9

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать нормальное распределение и формулы связанные с ним. Дано, что случайная величина имеет математическое ожидание \( \mu = 10 \) и дисперсию \( \sigma^2 = 4 \).

Для нашего удобства, мы можем найти стандартное отклонение, которое равно квадратному корню из дисперсии: \( \sigma = \sqrt{4} = 2 \).

Задано, что мы хотим найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале \([12;14]\). Обозначим это событие буквой \(A\).

Теперь нам нужно определить стандартизированное значение для каждого из крайних значений интервала. Для этого мы используем формулу стандартной нормальной случайной величины \( Z \):

\[ Z = \frac{{X - \mu}}{{\sigma}} \]

где \( X \) - значение случайной величины, \( \mu \) - математическое ожидание и \( \sigma \) - стандартное отклонение.

Для нижней границы интервала:

\[ Z_1 = \frac{{12 - 10}}{{2}} = 1 \]

Аналогичным образом, для верхней границы интервала:

\[ Z_2 = \frac{{14 - 10}}{{2}} = 2 \]

Мы можем найти вероятность того, что случайная величина будет находиться в интервале \([12;14]\) с использованием таблицы стандартного нормального распределения или программного обеспечения, где такая функциональность доступна.

Вероятность находится как разность между значениями функции распределения в верхней границе и нижней границе интервала:

\[ P(12 \leq X \leq 14) = P(Z_1 \leq Z \leq Z_2) \]

\[ P(12 \leq X \leq 14) = P(Z \leq 2) - P(Z \leq 1) \]

\[ P(12 \leq X \leq 14) = F(2) - F(1) \]

Значение этой вероятности может быть вычислено по таблице или с использованием программных средств и составляет разность между значениями функции распределения стандартного нормального распределения в точках \( Z = 2 \) и \( Z = 1 \).

В результате расчёта получим значение вероятности, отражающее вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал \([12;14]\) при заданных параметрах распределения.

Я надеюсь, что это подробное объяснение поможет вам понять, как решить данную математическую задачу. Если у вас возникнут ещё вопросы, буду рад помочь!