Какова вероятность того, что первый успех произойдет не раньше, чем после k испытаний и более? Какова вероятность того

Roza

24

Для решения данной задачи о вероятности успеха в последовательности испытаний, мы можем использовать геометрическое распределение.

1) Вероятность того, что первый успех произойдет не раньше чем после k испытаний или более, можно выразить следующей формулой:

$$P(X\ge k)=q^{k-1}$$

где $P(X\ge k)$ - вероятность того, что успех произойдет в k-том или любом последующем испытании,
$q=1-p$ - вероятность неуспеха на каждом испытании.

Таким образом, вероятность того, что первый успех произойдет не раньше, чем после k испытаний и более, равна $q^{k-1}$.

2) Чтобы найти вероятность того, что число испытаний для достижения успеха будет от k до n (когда $k<n$), мы можем использовать следующую формулу:

$$P(k\le X\le n)=\sum _{i=k}^n{q}^{i-1}-\sum _{i=1}^{k-1}{q}^{i-1}$$

где $P(k\le X\le n)$ - вероятность того, что число испытаний будет от k до n,
$\sum _{i=k}^n{q}^{i-1}$ - сумма всех вероятностей от k до n,
$\sum _{i=1}^{k-1}{q}^{i-1}$ - сумма всех вероятностей от 1 до k-1.

3) Для решения второй части задачи о вероятности попадания орудия, мы можем использовать биномиальное распределение или подход через вероятность неудачи.

Вероятность попадания орудия при каждом выстреле составляет $p=0,4$, а вероятность неудачи равна $q=1-p=0,6$.

Пусть $n$ - количество выстрелов, для которого мы хотим найти вероятность попадания не ниже 0,9.

Тогда вероятность попадания при n выстрелах равна:

$$1-P(X<n)=1-\sum _{i=0}^{n-1}C(n-1,i)\cdot p^{n-1-i}\cdot q^i\ge 0,9$$

Мы можем использовать эту формулу и различные значения числа выстрелов n для нахождения наименьшего значения, удовлетворяющего неравенству.

Надеюсь, это решение поможет вам понять и решить данную задачу о вероятности успеха и расчете необходимого количества снарядов.