Какова вероятность того, что первый успех произойдет не раньше, чем после k испытаний и более? Какова вероятность того

Roza

24

Для решения данной задачи о вероятности успеха в последовательности испытаний, мы можем использовать геометрическое распределение.

1) Вероятность того, что первый успех произойдет не раньше чем после k испытаний или более, можно выразить следующей формулой:

\[P(X \geq k) = q^{k-1}\]

где \(P(X \geq k)\) - вероятность того, что успех произойдет в k-том или любом последующем испытании,
\(q = 1 - p\) - вероятность неуспеха на каждом испытании.

Таким образом, вероятность того, что первый успех произойдет не раньше, чем после k испытаний и более, равна \(q^{k-1}\).

2) Чтобы найти вероятность того, что число испытаний для достижения успеха будет от k до n (когда \(k < n\)), мы можем использовать следующую формулу:

\[P(k \leq X \leq n) = \sum_{i=k}^{n} q^{i-1} - \sum_{i=1}^{k-1} q^{i-1}\]

где \(P(k \leq X \leq n)\) - вероятность того, что число испытаний будет от k до n,
\(\sum_{i=k}^{n} q^{i-1}\) - сумма всех вероятностей от k до n,
\(\sum_{i=1}^{k-1} q^{i-1}\) - сумма всех вероятностей от 1 до k-1.

3) Для решения второй части задачи о вероятности попадания орудия, мы можем использовать биномиальное распределение или подход через вероятность неудачи.

Вероятность попадания орудия при каждом выстреле составляет \(p = 0,4\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p = 0,6\).

Пусть \(n\) - количество выстрелов, для которого мы хотим найти вероятность попадания не ниже 0,9.

Тогда вероятность попадания при n выстрелах равна:

\[1 - P(X < n) = 1 - \sum_{i=0}^{n-1} C(n-1,i) \cdot p^{n-1-i} \cdot q^i \geq 0,9\]

Мы можем использовать эту формулу и различные значения числа выстрелов n для нахождения наименьшего значения, удовлетворяющего неравенству.

Надеюсь, это решение поможет вам понять и решить данную задачу о вероятности успеха и расчете необходимого количества снарядов.