Какова высота правильной треугольной пирамиды, если радиус окружности, описанной вокруг ее основания, составляет

Pufik

9

Хорошо, давайте решим поставленную задачу шаг за шагом.

Для начала, давайте представим себе правильную треугольную пирамиду. Известно, что ее основание - это правильный треугольник, и окружность описана вокруг этого треугольника. Такая пирамида имеет следующий вид:

[Вставить изображение правильной треугольной пирамиды]

Мы знаем, что радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, составляет 4 см. Давайте обозначим этот радиус как \(R = 4\) см.

а) Для определения высоты пирамиды нам понадобится найти длину по образующей. Образующая - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания. Для правильной треугольной пирамиды, образующая будет также являться апофемой - это отрезок, проведенный из центра окружности, описанной вокруг основания, до середины стороны основания. Обозначим эту величину как \(a\).

Чтобы найти значение апофемы, мы можем воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности в правильном треугольнике:

\[R = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

Подставим значение радиуса \(R = 4\) см и найдем значение апофемы \(a\):

\[4 = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(2\sqrt{3}\):

\[4 \cdot 2\sqrt{3} = a\]

Упростим выражение:

\[8\sqrt{3} = a\]

Итак, мы получили, что длина апофемы пирамиды \(a\) равна \(8\sqrt{3}\) см.

б) Площадь боковой поверхности пирамиды может быть найдена, используя следующую формулу для правильной треугольной пирамиды:

\[S_{\text{бок}} = \frac{a \cdot p}{2}\]

Где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(a\) - длина апофемы, \(p\) - периметр основания.

Для нашей пирамиды, периметр основания будет равен троекратной длине стороны основания, так как это правильный треугольник. Обозначим длину стороны основания как \(s\):

\[p = 3 \cdot s\]

Также мы знаем, что длина апофемы \(a\) равна \(8\sqrt{3}\) см.

Подставим эти значения в формулу для площади боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = \frac{8\sqrt{3} \cdot (3 \cdot s)}{2}\]

Упростим выражение:

\[S_{\text{бок}} = 12\sqrt{3} \cdot s\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(12\sqrt{3} \cdot s\).

Я надеюсь, что это решение помогло вам понять задачу и дало подробные пошаговые объяснения. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спросите!