Каково количество нулей в конце десятичной записи числа 2 ^13 ⋅ 3^10 ⋅ 5^9?

Skvoz_Ogon_I_Vodu

66

Чтобы определить количество нулей в конце десятичной записи числа \(2^{13} \cdot 3^{10} \cdot 5^{9}\), мы должны рассмотреть, как нули формируются в этом числе.

Нуль в конце десятичной записи появляется, когда число делится на 10, то есть содержит множитель \(2 \cdot 5\). Поскольку каждая вторая цифра - это четное число, и \(5^9\) содержит только пятёрки, нам нужно определить, какие множители в числе \(2^{13} \cdot 3^{10}\) соответствуют пятёркам в десятичной записи.

Количество пятёрок в числе \(2^{13} \cdot 3^{10}\) будет определяться наименьшим показателем степени числа 5 в разложении этого числа на простые множители.

Давайте рассмотрим разложение числа \(2^{13} \cdot 3^{10}\) на простые множители:

\[2^{13} \cdot 3^{10} = 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3.\]

Заметим, что число 10 разбивается на множители \(2 \cdot 5\). В экспоненциальной форме мы можем записать число 10 как \(2^1 \cdot 5^1\), поэтому для каждой пятёрки в десятичной записи нам понадобится по одной пятёрке и по одной двойке.

Теперь определим количество пятёрок в числе:

\[\begin{aligned}
2^{13} \cdot 3^{10} &= (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \\
&= 2^{13} \cdot 3^{10} \cdot 5^0 \cdot 2^0 \\
&= 2^{13} \cdot 3^{10} \cdot 5^0 \\
&= 2^{13} \cdot 3^{10}.
\end{aligned}\]

Итак, в данном числе нет множителя 5, поэтому нули в конце десятичной записи отсутствуют.

Ответ: Количество нулей в конце десятичной записи числа \(2^{13} \cdot 3^{10} \cdot 5^{9}\) равно 0.