Каково наибольшее и наименьшее значения функции F(x)=x+1/x на интервале [-2:-0,5]?

Турандот

16

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(F(x) = x + \frac{1}{x}\) на заданном интервале \([-2:-0.5]\), мы сначала найдем производную функции \(F"(x)\) и решим уравнение \(F"(x) = 0\), чтобы найти критические точки. Затем мы проверим значения функции в этих точках и на границах интервала для определения наибольшего и наименьшего значений.

Шаг 1: Найдем производную \(F"(x)\).
Для этого возьмем производную каждого члена функции \(F(x)\). Помните, что производная суммы равна сумме производных.

\[F(x) = x + \frac{1}{x}\]
\[F"(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\]
\[F"(x) = 1 - \frac{1}{x^2}\]

Шаг 2: Решим уравнение \(F"(x) = 0\) для поиска критических точек.
\[1 - \frac{1}{x^2} = 0\]
\[\frac{1}{x^2} = 1\]
\[1 = x^2\]
\[x = \pm 1\]

Поэтому функция \(F"(x)\) имеет две критические точки: \(x = 1\) и \(x = -1\).

Шаг 3: Найдем значения функции \(F(x)\) в критических точках и на границах интервала.

Для \(x = -2\):
\[F(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2 - 0.5 = -2.5\]

Для \(x = -0.5\):
\[F(-0.5) = -0.5 + \frac{1}{-0.5} = -0.5 - 2 = -2.5\]

Для \(x = 1\):
\[F(1) = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2\]

Таким образом, наименьшее значение функции \(F(x)\) равно \(-2.5\) и достигается при \(x = -2\) и \(x = -0.5\), а наибольшее значение функции равно \(2\) и достигается при \(x = 1\).

Итак, наибольшее значение функции \(F(x) = x + \frac{1}{x}\) на интервале \([-2:-0.5]\) равно \(2\), а наименьшее значение равно \(-2.5\).