Каково наибольшее значение функции y=3cosx +cos3x/5 на интервале (-p/2;p/2)?

Kosmicheskaya_Zvezda

61

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем значения функции y для крайних точек интервала \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\).
Подставим \(x = -\frac{\pi}{2}\) в уравнение функции и найдем значение \(y_1\):
\(y_1 = 3\cos(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\cos^3(-\frac{\pi}{2})}{5}\)
Мы знаем, что \(\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0\) и \(\cos^3(-\frac{\pi}{2}) = 0\), поэтому \(y_1 = 0\).

Теперь подставим \(x = \frac{\pi}{2}\) в уравнение функции и найдем значение \(y_2\):
\(y_2 = 3\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\cos^3(\frac{\pi}{2})}{5}\)
Здесь \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) и \(\cos^3(\frac{\pi}{2}) = 0\), следовательно \(y_2 = 0\).

Таким образом, на концах интервала функция \(y\) принимает значение 0.

Шаг 2: Найдем локальные максимумы и минимумы функции.
Вычислим производную функции \(y" = \frac{dy}{dx}\):
\(y" = \frac{d}{dx}(3\cos{x} + \frac{\cos^3{3x}}{5})\)

Для удобства вычисления производной применим формулу сложения косинусов:
\(\cos{3x} = 4\cos^3{x} - 3\cos{x}\)

Подставим это обратно в производную:
\(y" = \frac{d}{dx}(3\cos{x} + \frac{(4\cos^3{x} - 3\cos{x})}{5})\)

Выполняя вычисления, получаем:
\(y" = -\frac{16}{5}\cos^3{x} + \frac{39}{5}\cos{x}\)

Чтобы найти экстремумы функции, приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:
\(-\frac{16}{5}\cos^3{x} + \frac{39}{5}\cos{x} = 0\)

Факторизуем это уравнение:
\(\cos{x}(-\frac{16}{5}\cos^2{x} + \frac{39}{5}) = 0\)

Условие \(\cos{x} = 0\) дает нам две точки, в которых \(y\) может достигать экстремума:
\(\cos{x} = 0\) при \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(x = \frac{-\pi}{2}\).

Обратимся ко второму сомножителю:
\(-\frac{16}{5}\cos^2{x} + \frac{39}{5} = 0\)
\(\cos^2{x} = \frac{39}{16}\)
\(\cos{x} = \sqrt{\frac{39}{16}}\)

Заметим, что значение \(\sqrt{\frac{39}{16}}\) больше 1, следовательно, нет решений для этого уравнения.

Таким образом, у функции \(y\) на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) есть только точки максимума и минимума в \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(x = \frac{-\pi}{2}\), соответственно.

Итак, наибольшее значение функции \(y = 3\cos{x} + \frac{\cos^3{3x}}{5}\) на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) равно 0.