Каково наивысшее возможное значение КПД парового двигателя, если пар получается из котла при температуре 200 градусов

Zolotoy_Klyuch

56

Для решения этой задачи, нам понадобится знать определение КПД (коэффициента полезного действия) парового двигателя. КПД парового двигателя определяется как отношение работы, выполненной двигателем, к тепловой энергии, полученной от внешнего источника. Математически, это можно записать следующим образом:

\[ \text{КПД} = \frac{\text{полезная работа}}{\text{тепловая энергия ввода}} \]

Теперь, рассмотрим каждое из условий задачи:

1. Пар получается из котла при температуре 200 градусов Цельсия и давлении 2*10^5 па. Здесь нам дана начальная температура пара \(T_1 = 200^\circ C\) и начальное давление \(P_1 = 2 \times 10^5\) Па.

2. Пар выбрасывается наружу при температуре 100 градусов Цельсия. Это означает, что конечная температура пара \(T_2 = 100^\circ C\).

Теперь нам нужно найти тепловую энергию ввода пара и полезную работу, выполненную двигателем, чтобы вычислить КПД.

Первым делом, нам нужно найти тепловую энергию ввода пара. Мы можем использовать формулу для расчета теплоёмкости:

\[ q = mc\Delta T \]

Где:

- \( q \) - тепловая энергия
- \( m \) - масса пара
- \( c \) - удельная теплоёмкость
- \( \Delta T \) - изменение температуры

Мы знаем, что начальная температура пара \( T_1 = 200^\circ C \), конечная температура пара \( T_2 = 100^\circ C \), и удельная теплоёмкость воды \( c = 4186 \) Дж/(кг·°C) (это значение можно найти в таблицах).

Теперь, нам нужно рассчитать массу пара \( m \). Для этого, нам потребуется знать объём пара и его плотность. Для расчёта объёма пара, можно использовать уравнение состояния идеального газа:

\[ PV = nRT \]

Где:

- \( P \) - давление (в Па)
- \( V \) - объём (в метрах кубических)
- \( n \) - количество вещества (в молях)
- \( R \) - универсальная газовая постоянная (\( 8.3145 \) Дж/(моль·К))
- \( T \) - температура (в Кельвинах)

Исходя из этого уравнения, мы можем выразить количество вещества \( n \) следующим образом:

\[ n = \frac{PV}{RT} \]

Зная, что молярная масса воды \( M = 0.018 \) кг/моль, мы можем рассчитать массу пара \( m \) следующим образом:

\[ m = n \times M \]

Теперь у нас есть все данные, чтобы рассчитать тепловую энергию ввода пара:

\[ q = mc\Delta T \]

Следующим шагом будет рассчитать полезную работу, выполненную двигателем. Для этого, мы можем использовать следующую формулу:

\[ W = q - |q_r| \]

Где:

- \( W \) - полезная работа
- \( q \) - тепловая энергия
- \( q_r \) - тепловая энергия, выброшенная наружу

Теперь, когда у нас есть тепловая энергия ввода \( q \) и тепловая энергия выброшенная наружу \( q_r \), мы можем рассчитать полезную работу.

Наконец, мы можем найти КПД. КПД определяется как отношение полезной работы к тепловой энергии ввода:

\[ \text{КПД} = \frac{W}{q} \]

Теперь, давайте выполним все необходимые расчеты:

1. Разберемся с массой пара \( m \):
Используя уравнение состояния идеального газа, мы можем рассчитать объём пара:
\[ V = \frac{{nRT}}{{P}} \]
\[ V = \frac{{PV}}{{RT}} \]
\[ V = \frac{{2 \times 10^5 \, \text{Па} \times V}}{{8.3145 \, \text{Дж/(моль·К)} \times 473.15 \, \text{К}}}\]

Мы знаем, что плотность воды \( \rho = 1000 \) кг/м³, отсюда:

\[ m = \rho \cdot V = 1000 \cdot V \]

Теперь у нас есть масса пара \( m \).

2. Рассчитаем тепловую энергию ввода \( q \):
\[ q = mc\Delta T \]

3. Рассчитаем полезную работу \( W \):
\[ W = q - |q_r| \]

4. Наконец, рассчитаем КПД парового двигателя:
\[ \text{КПД} = \frac{W}{q} \]

Подставим все значения и рассчитаем:

\( V = \frac{{2 \times 10^5 \, \text{Па} \times V}}{{8.3145 \, \text{Дж/(моль·К)} \times 473.15 \, \text{К}}} \) \\
\( V \approx 0.0594 \, \text{м³} \)

\( m = \rho \cdot V = 1000 \cdot 0.0594 \) \\
\( m \approx 59.4 \, \text{кг} \)

Теперь можем провести дальнейшие расчеты. Рассчитаем тепловую энергию ввода \( q \):
\[ q = mc\Delta T \]
\( q = 59.4 \cdot 4186 \cdot (200 - 100) \)
\( q = 12472104 \, \text{Дж} \)

Теперь рассчитаем полезную работу \( W \):
\[ W = q - |q_r| \]
\( W = 12472104 - |q_r| \)

И наконец, рассчитаем КПД:
\[ \text{КПД} = \frac{W}{q} \]
\( \text{КПД} = \frac{W}{12472104} \)

Таким образом, найденное значение КПД будет являться наивысшим возможным значением для этого парового двигателя.